数列（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 ${k | b_{k} = a_{m} + a_{1} ， 1 \leq m \leq 500}$ 中元素个数．

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2. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4} ， a_{7} ， a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

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3. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ ，的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2$

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4. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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5. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}$ ，3 $a_{2}$ ，9 $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和.证明： $T_{n}$ < $\frac{S_{n}}{2}$ .

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6. 记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0 ， a_{2} ＝ 3 a_{1}$ ，且数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列．证明： ${a_{n}}$ 是等差数列．

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7. 已知数列{a_n｝的各项均为正数，记S_n为{a_n｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a_n｝是等差数列：②数列{ $\sqrt{S_{n}}$ ｝是等差数列；③a₂=3a₁

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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8. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ =2.

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}的通项公式.

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4 ， b_{3} - b_{2} = 48$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} ， n \in N^{*}$ .
（i）证明 ${c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 是等比数列；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$

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10. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1}$ =1， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 2 ， n 为偶数 \end{matrix}$

(1)、记 $b_{n}$ = $a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前20项和

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11. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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12. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和．

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13. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

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14. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${b_{m}}$ 的前100项和 $S_{100}$ ．

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15. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和．

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16. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ b_{\frac{n}{2}}, n 为偶数 \end{matrix}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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17. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $4 a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} + 4$ ， $4 b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} - 4$ .

(1)、证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}和{b_n}的通项公式.

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18. 设{a_n}是等差数列，a₁=-10，且a₂+10，a₃+8，a₄+6成等比数列.
（I）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n ，求S_n的最小值.

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19. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求S_n ，并求S_n的最小值。

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20. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若S_m=63，求m。

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21. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = \ln 2$ ， $a_{2}$ +a₃=5 $\ln 2$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求 $e^{a_{1}}$ + $e^{a_{2}}$ +…+ $e^{a_{n}}$ .

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