解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 在C上，且 $x_{1} > x_{2} > 0 ， y_{1} > 0$ ．过P且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过Q且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 $A B$ 上；② $P Q ∥ A B$ ；③ $| M A | = | M B |$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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2. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设直线 $M D ， N D$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $M N ， A B$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ．当 $α - β$ 取得最大值时，求直线AB的方程．

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3. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $A (0 ， - 2) ， B (\frac{3}{2} ， - 1)$ 两点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点 $P (1 ， - 2)$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\vec{M T} = \vec{T H}$ ．证明：直线HN过定点．

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4. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程：

（Ⅱ）过点 $P (- 2 ， 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B ， C$ ，直线 $A B ， A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M ， N$ ，当 $| M N | = 2$ 时，求 $k$ 的值。

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5. 已知点A(2，1)在双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1 (a > 1)$ 上，直线 $l$ 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.

(1)、求 $l$ 的斜率；

(2)、若 $tan ∠ P A Q = 2 \sqrt{2} ，$ 求 $P A Q$ 的面积.

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6. 已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设M，N是椭圆C上的两点，直线 $M N$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| M N | = \sqrt{3}$ ．

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， - 2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．

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8. 如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 $| M F | = 2$ ，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $M A ， M B ， A B$ ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ，且 ${| R N |}^{2} = | P N | \cdot | Q N |$ ，求直线l在x轴上截距的范围.

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9. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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10. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²=1上点的距离的最小值为4.

(1)、求p；

(2)、若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 $Δ$ PAB的最大值.

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $| B F | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $M P // B F$ ，求直线l的方程．

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1}$ (- $\sqrt{17}$ ，0)， $F_{2}$ ( $\sqrt{17}$ ， 0)，点M满足|MF₁|-|MF₂|=2.记M 的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

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13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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14. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$ |AB|.

(1)、求C₁的离心率；

(2)、设M是C₁与C₂的公共点，若|MF|=5，求C₁与C₂的标准方程.

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15. 已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\vec{A G} \cdot \vec{G B} = 8$ ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

(1)、求E的方程；

(2)、证明：直线CD过定点.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，

(1)、求C的方程；

(2)、点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

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17. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点A（2，1）．

(1)、求C的方程：

(2)、点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为F，且 $| O A | = | O F |$ ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C满足 $3 \vec{O C} = \vec{O F}$ ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 $A B$ 的中点．求直线 $A B$ 的方程．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂ ，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

(1)、求△AF₁F₂的周长；

(2)、在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 $\vec{O P} \cdot \vec{Q P}$ 的最小值；

(3)、设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₂=3S₁ ，求点M的坐标．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点 $B (- 4, 0)$ 的直线l交椭圆C于点 $M, N$ ,直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x = - 4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{| P B |}{| B Q |}$ 的值．

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21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为F₁（–1、0），F₂（1，0）．过F₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F₂： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF₁并延长交圆F₂于点B ，连结BF₂交椭圆C于点E ，连结DF₁ ．已知DF₁= $\frac{5}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求点E的坐标．

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22. 如图，已知点F（1，0）为抛物线y²=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S₁_，S₂.

(1)、求P的值及抛物线的准线方程.

(2)、求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点G点坐标.

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23. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为B.已知 $\sqrt{3} | O A | = 2 | O B |$ （ $O$ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $p$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且 $O C ∥ A P$ ，求椭圆的方程.

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24. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上.若 $| O N | = | O F |$ （ $O$ 为原点），且 $O P ⊥ M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率.

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25. 已知曲线C: $y = \frac{x^{2}}{2}$ ，D为直线y=- $\frac{1}{2}$ 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、证明：直线AB过定点；

(2)、若以E（0， $\frac{5}{2}$ ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

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26. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− $\frac{1}{2}$ .记M的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)、过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： $△ P Q G$ 是直角三角形；

（ii）求 $△ P Q G$ 面积的最大值.

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27. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.
（I）求椭圆C的方程；

（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

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28. 已知抛物线C：x²=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

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29. 已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。

(1)、若|AF|+|BF|=4,求l的方程：

(2)、若 $\vec{A P} = 3 \vec{P B}$ ,求|AB|。

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30. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 得直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ .

(1)、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ O M A = ∠ O M B$ .

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31. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b ， 0)$ ，且 $| F B | \cdot | A B | = 6 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： $y = k x (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l与直线AB交于点Q.若 $\frac{| A Q |}{| P Q |} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \sin ∠ A O Q$ (O为原点)，求k的值.

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32. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $| A B | = \sqrt{13}$ .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l ： y = k x (k < 0)$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点， $l$ 与直线 $A B$ 交于点M ，且点P ， M均在第四象限.若 $△ B P M$ 的面积是 $△ B P Q$ 面积的2倍，求k的值.

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33. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F点且斜率 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $l$ 的方程。

(2)、求过点 $A ， B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

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34. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

(1)、求椭圆C及圆O的方程；

(2)、设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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35. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $| \vec{F A} | ， | \vec{F P} | ， | \vec{F B} |$ 成等差数列，并求该数列的公差。

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36. 已知抛物线C： $y^{2}$ =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B ，且直线PA交y轴于M ，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O为原点， $\vec{Q M} = λ \vec{Q O}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q O}$ ，求证： $\frac{1}{λ}$ + $\frac{1}{μ}$ 为定值.

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37. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距2 $\sqrt{2}$ .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 $k = 1$ ，求 $| A B |$ 的最大值；
（Ⅲ）设 $P (- 2 ， 0)$ ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C ， D和点 $Q (- \frac{7}{4} ， \frac{1}{4})$ 共线，求k.

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