立体几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、解答题

1. 如图， $P O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的高， $P A = P B$ ， $A B ⊥ A C$ ，E是 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $O E ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $∠ A B O = ∠ C B O = 30 °$ ， $P O = 3$ ， $P A = 5$ ，求二面角 $C - A E - B$ 的正弦值．

查看试题解析
2. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为AC的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面ACD；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在BD上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积．

查看试题解析
3. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D ， C D ∥ A B ， A D = D C = C B = 1 ， A B = 2 ， D P = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求PD与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

查看试题解析
4. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $△ E A B ， △ F B C ， △ G C D ， △ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

查看试题解析
5. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

查看试题解析
6. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A C$ 的中点．

（I）求证： $M N //$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值。

条件①： $A B ⊥ M N$ ；

条件②： $B M = M N$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

查看试题解析
7. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ '的面积为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B ，$ 平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1} ，$ 求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

查看试题解析
8. 在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2 ， Q D = Q A = \sqrt{5} ， Q C = 3$ ．

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值．

查看试题解析
9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $C D E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；

(2)、若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M - C F - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

查看试题解析
10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 120 ° ， A B = 1 ， B C = 4 ， P A = \sqrt{15}$ ，M ， N分别为 $B C ， P C$ 的中点， $P D ⊥ D C ， P M ⊥ M D$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P M$ ；

(2)、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
11. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $⊥$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $⊥$ AM.

(1)、证明：平面PAM $⊥$ 平面PBD；

(2)、若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.

查看试题解析
12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形． $A B ＝ B C ＝ 2 ， E ， F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥F－EBC的体积；

(2)、已知 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $B F ⊥ D E$ ．

查看试题解析
13. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

查看试题解析
14. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

(1)、求BC；

(2)、求二面角A-PM-B的正弦值。

查看试题解析
15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正正弦值．

(3)、求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值．

查看试题解析
16. 如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.

(1)、证明：OA⊥CD：

(2)、若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

查看试题解析
17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别在棱 $D D_{1} ， B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．

(1)、证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，求二面角 $A - E F - A_{1}$ 的正弦值．

查看试题解析
18. 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.

(1)、证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；

(2)、设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $A E$ 为底面直径， $A E = A D$ ． $△ A B C$ 是底面的内接正三角形，P为 $D O$ 上一点， $P O = \frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值．

查看试题解析
20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)、证明：l⊥平面PDC；

(2)、已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

查看试题解析
21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D ， E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1 C E = 2 ， M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
22. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\sqrt{5}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

(1)、求直线AB与DE所成角的余弦值；

(2)、若点F在BC上，满足BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

查看试题解析
23. 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

(1)、求证：EF∥平面AB₁C₁；

(2)、求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁ ．

查看试题解析
24. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
25. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．

求证：

(1)、A₁B₁∥平面DEC₁；

(2)、BE⊥C₁E ．

查看试题解析
26. 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁ ，平面A₁AC₁C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点

(1)、证明：EF⊥BC

(2)、求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值.

查看试题解析
27. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A ⊥ C D$ ， $C D = 2 ， A D = 3$ ，

（Ⅰ）设 $G ， H$ 分别为 $P B ， A C$ 的中点，求证： $C H ∥$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅱ）求证： $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅲ）求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
28. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

查看试题解析
29. 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.

(1)、证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)、求图2中的二面角B-CG-A的大小.

查看试题解析
30. 如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

(1)、证明：BE⊥平面EB₁C₁；

(2)、若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

查看试题解析
31. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

查看试题解析
32. 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $∠$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值。

查看试题解析
33. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E ， F$ 分别为 $A D ， B C$ 的中点，以 $D F$ 为折痕把 $Δ D F C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P F ⊥ Β F$ .

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B F D$ ；

(2)、求 $D P$ 与平面 $A B F D$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
34. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= $2 \sqrt{3}$ ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

查看试题解析
35. 如图，在三角锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
36. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。

查看试题解析
37. 如图，在三菱柱ABC- $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面ABC。 D，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ，AC， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，AB=BC= $\sqrt{5}$ ，AC= $A A_{1}$ =2。

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF：
（Ⅱ）求二面角B-CD- $C$ ₁的余弦值：
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。

查看试题解析