平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (1 ， 0) ， \vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$ ，若 $< \vec{a} ， \vec{c} > = < \vec{b} ， \vec{c} >$ ，则 $t =$ （）

A、-6 B、-5 C、5 D、6

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

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4. 已知向量 $a ， b$ 满足 $| a | = 1 ， | b | = \sqrt{3} ， | a - 2 b | = 3$ ，则 $a \cdot b =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ C = 90 °$ ． $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 5]$ C、 $[- 6 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 6]$

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6. 在 $A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A .$ 记 $\vec{C A} = \vec{m} ， \vec{C D} = \vec{n} ，$ 则 $\vec{C B} =$ （）

A、3 $\vec{m}$ -2 $\vec{n}$ B、-2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$ C、3 $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ D、2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$

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7. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 1$ ，则点C的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、直线

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8. 已知向量a，b满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\cos ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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9. 已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）

A、a+2b B、2a+b C、a–2b D、2a–b

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10. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 6)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 6)$

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11. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（3，2），则| $\vec{a}$ - $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、5 $\sqrt{2}$ D、50

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12. 已知 $\vec{A B}$ =(2,3)， $\vec{A C}$ =(3，t)，| $\vec{B C}$ |=1，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14. 在 $Δ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 $\vec{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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15. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = A D = 1$ . 若点E为边CD上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{21}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{25}{16}$ D、 $3$

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|$ =1， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ =−1 ，则 $\vec{a}$ ·(2 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ )=（）

A、4 B、3 C、2 D、0

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二、多选题

17. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 $M (p ， 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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18. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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19. 已知O为坐标原点，点P₁(cosα,sinα),P₂(cosβ，-sinβ),P₃(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（）

A、| $\vec{{OP}_{1}} |$ = $\vec{| {OP}_{2}} |$ B、 $| \vec{{AP}_{1}} |$ = $| \vec{{AP}_{2}} |$ C、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{3}}$ = $\vec{{OP}_{1}} \vec{\cdot {OP}_{2}}$ D、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{1}} = \vec{{OP}_{2}} \vec{\cdot {OP}_{3}}$

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三、填空题

20. 设向量 $a$ ， $b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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21. 已知向量 $a = (m ， 3) ， b = (1 ， m + 1)$ ．若 $a ⊥ b$ ，则 $m =$ ．

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22. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = | \vec{c} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ ．

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23. $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ， $\vec{c} = (0, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ； $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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24. 已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则λ=.

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25. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝3，| $\vec{a} － \vec{b}$ |＝5， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ ＝1，则| $\vec{b}$ |＝．

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26. 已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， $c = a + kb$ ，若a⊥c，则k=。

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27. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，3），b=（3，4），若（ $\vec{a}$ -λ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则λ=。

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28. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $D E ⊥ A B$ 且交AB于点E ． $D F // A B$ 且交AC于点F ，则 $| 2 \vec{B E} + \vec{D F} |$ 的值为； $(\vec{D E} + \vec{D F}) \cdot \vec{D A}$ 的最小值为．

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29. 设向量 $a = (1, - 1), b = (m + 1, 2 m - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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30. 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=.

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31. 设 $a, b$ 为单位向量，且 $| a + b | = 1$ ，则 $| a - b | =$ .

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32. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{°} ， A B = 3$ ， $B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{B C} ， \vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2}$ ，则实数 $λ$ 的值为，若 $M ， N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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33. 在△ABC中， $A B = 4 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 90 ° ，$ D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 $\vec{P A} = m \vec{P B} + (\frac{3}{2} - m) \vec{P C}$ （m为常数），则CD的长度是．

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34. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则 $| \vec{P D} | =$ ； $\vec{P B} \cdot \vec{P D} =$ ．

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35. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ， AD与CE交于点 $O$ .若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是.

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36. 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任意一点 $P$ ， $Q$ 与 $P$ 关于 $x$ 轴对称，若有 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} \leq 1$ ，则 $\vec{F_{1} P}$ 与 $\vec{F_{2} Q}$ 的夹角范围为．

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37. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 5 ， ∠ A = 30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B E$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} =$ .

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38. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2) \vec{, b} = (- 8, 6)$ ，则 $\cos < \vec{a}, \vec{b} > =$ .

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39. 已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- $\sqrt{5}$ b，则cos<a，c>=。

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40. 已知向量 $\vec{a}$ =（-4.3）， $\vec{b}$ =（6，m），且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则m=.

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