导数的应用（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 1$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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2. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \ln x + x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围；

(2)、证明：若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x ， g (x) = x^{2} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．

(1)、若 $x_{1} = - 1$ ，求a：

(2)、求a的取值范围．

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5. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x e^{- x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0) ， (0 ， + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} ln (1 + x)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$ ．

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 和 $g (x) = a x - ln x$ 有相同的最小值.

(1)、求a；

(2)、证明：存在直线 $y = b ，$ ，其与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

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8. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有一个零点
① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2} ， b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2} ， b \leq 2 a$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + a x + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y = f (x)$ 的公共点的坐标.

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11. 设函数 $f (x) ＝ a^{2} x^{2} ＋ a x - 3 ln x ＋ 1$ ，其中a>0．

(1)、讨论f(x)的单调性；

(2)、若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．

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12. 已知a＞0且a≠1，函数f（x）= $\frac{x^{a}}{a^{x}}$ （x＞0），

(1)、当a=2时，求f（x）的单调区间；

(2)、若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

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13. 设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

(1)、求a；

(2)、设函数g（x）= $\frac{x + f （ x ）}{x f （ x ）}$ ，证明：g（x）＜1.

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14. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x - x e^{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程：

(2)、证明 $f (x)$ 存在唯一的极值点

(3)、若存在a ，使得 $f (x) \leq a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立，求实数b的取值范围．

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15. 已知函数f(x)=x（1-lnx)

(1)、讨论f(x)的单调性

(2)、设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - k x + k^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点，求k的取值范围．

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17. 设函数 $f (x) = x^{3} + b x + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点( $\frac{1}{2}$ ，f( $\frac{1}{2}$ ))处的切线与y轴垂直．

(1)、求b．

(2)、若 $f (x)$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f (x)$ 所有零点的绝对值都不大于1．

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18. 已知函数f（x）=2lnx+1．

(1)、若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

(2)、设a>0时，讨论函数g（x）= $\frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ 的单调性．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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20. 已知函数f(x)=sin²xsin2x.

(1)、讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)、证明： $| f (x) | \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；

(3)、设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^{n}}{4^{n}}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x$ .

(1)、当a=1时，讨论f（x）的单调性；

(2)、当x≥0时，f（x）≥ $\frac{1}{2}$ x³+1，求a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若f（x）≥1，求a的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．
（Ⅰ）当 $k = 6$ 时，

（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k ⩾ - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = 12 - x^{2}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $- 2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t ， f (t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最小值．

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25. 设函数 $f (x) = \ln x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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26. 设函数 $f (x) = e^{x} \cos x, g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) ⩾ 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 m + \frac{π}{4}, 2 m π + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 n π + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 n π}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ .

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27. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当0<a<3时，记 $f (x)$ 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求 $M - m$ 的取值范围.

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28. 已知函数f（x）=2x³-ax²+b.

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

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29. 已知函数 $f (x) = (x - 1) l n x - x - 1$ ，证明：

(1)、 $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(2)、 $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

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30. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ .

(1)、讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)、设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀ ， ln x₀)处的切线也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线.

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31. 已知函数f（x）= $\frac{1}{4}$ x³-x²+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.

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32. 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

(1)、f’(x)在区间(-1， $\frac{π}{2}$ )存在唯一极大值点；

(2)、f(x)有且仅有2个零点。

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a \ln x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$

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34. 已知函数f(x)=ae^x-lnx-1

(1)、设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间

(2)、证明：当a≥ $\frac{1}{e}$ 时，f(x)≥0

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35. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = \log_{a} x$ ，其中a>1.
（Ⅰ）求函数 $h (x) = f (x) - x \ln a$ 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在点 $(x_{2} ， g (x_{2}))$ 处的切线平行，证明 $x_{1} + g (x_{2}) = - \frac{2 \ln \ln a}{\ln a}$ ；
（Ⅲ）证明当 $a \geq e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线l ，使l是曲线 $y = f (x)$ 的切线，也是曲线 $y = g (x)$ 的切线.

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36. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a (x^{2} + x + 1)$

(1)、若a=3，求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、证明： $f (x)$ 只有一个零点

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37. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$

(1)、若a=1，证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1 ；$

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 只有一个零点，求 $a$ .

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38. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$

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39. 已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a．

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