基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）

试卷更新日期：2022-07-13 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

查看试题解析
2. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

查看试题解析
3. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

查看试题解析

二、多选题

4. 对任意x，y， $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ ，则（）

A、 $x + y \leq 1$ B、 $x + y \geq - 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 1$

查看试题解析
5. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 $1, 2, \dots, n$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .（）

A、若n=1，则H(X)=0 B、若n=2，则H(X)随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大 D、若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1, 2, \dots, m$ ，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则H(X)≤H(Y)

查看试题解析

三、填空题

7. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

查看试题解析
8. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

查看试题解析
9. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

查看试题解析
10. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

查看试题解析
11. 如图，已知正方形 $O A B C$ ，其中 $O A = a (a > 1)$ ，函数 $y = 3 x^{2}$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，函数 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ 交 $A B$ 于点 $Q$ ，当 $| A Q | + | C P |$ 最小时，则 $a$ 的值为．

查看试题解析
12. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

查看试题解析
13. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| $\vec{EF}$ |=2，则 $\vec{AE}$ · $\vec{BF}$ 的最小值为

查看试题解析
15. 已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足： $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1$ ， $x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1$ ， $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{∣ x_{1} + y_{1} - 1 ∣}{\sqrt{2}}$ + $\frac{∣ x_{2} + y_{2} - 1 ∣}{\sqrt{2}}$ 的最大值为

查看试题解析

四、解答题

16. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

查看试题解析
17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

查看试题解析
18. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 $A B = 30$ m， $A D = 15$ m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

(1)、若∠ADE $= 20^{°}$ ，求EF的长；

(2)、当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

查看试题解析
19. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

查看试题解析
20. $△ A B C$ 中，sin²A－sin²B－sin²C=sinBsinC．

(1)、求A；

(2)、若BC=3，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

查看试题解析
21. 如图，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{2}$ +y²＝1，抛物线C₂：y²＝2px（p＞0），点A是椭圆C₁与抛物线C₂的交点，过点A的直线l交椭圆C₁于点B，交抛物线C₂于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p＝ $\frac{1}{16}$ ，求抛物线C₂的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

查看试题解析