2022年中考数学真题分类汇编：23 锐角三角函数

试卷更新日期：2022-07-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 $α$ ，则高BC是（）

A、 $12 \sin α$ 米 B、 $12 \cos α$ 米 C、 $\frac{12}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{12}{\cos α}$ 米

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 4 ， ∠ B A C = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $2 α$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，连接 $B^{'} C$ 并延长交AB于点D，当 $B^{'} D ⊥ A B$ 时， $\overset{⌢}{B B^{'}}$ 的长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{9} π$

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3. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{10}{3}$

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4. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. $t a n 45 °$ 的值等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 如图，等腰△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ， AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE= $\frac{1}{2}$ BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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8. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）

A、 $(4 + 3 \sin α) m$ B、 $(4 + 3 \tan α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{\sin α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{\tan α}) m$

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9. 家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）

A、 $\frac{1}{2} π$ 米² B、 $\frac{1}{4} π$ 米² C、 $\frac{1}{8} π$ 米² D、 $\frac{1}{16} π$ 米²

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10. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\frac{1}{4}$ ，则FG的长是（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11. $P$ 为⊙ $O$ 外一点， $P T$ 与⊙ $O$ 相切于点 $T$ ， $O P = 10$ ， $∠ O P T = 30^{\circ}$ ，则 $P T$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、5 C、8 D、9

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12. 如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β， $C D = a$ ，则建筑物AB的高度为（）

A、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ B、 $\frac{a}{t a n β - t a n α}$ C、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n α - t a n β}$ D、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，点D是AC上一点，连接BD.若 $t a n ∠ A = \frac{1}{2}$ ， $t a n ∠ A B D = \frac{1}{3}$ ，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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14. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A、cosθ(1+cosθ) B、cosθ(1+sinθ) C、sinθ(1+sinθ) D、sinθ(1+cosθ)

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15. 下列计算结果，正确的是（）

A、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ B、 $\sqrt{8} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{8} = 2$ D、 $c o s 30 ° = \frac{1}{2}$

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二、填空题

16. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点 $P$ 处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道 $A B$ 为东西方向，赛道起点 $A$ 位于点 $P$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，终点 $B$ 位于点 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向上， $A B = 200$ 米，则点 $P$ 到赛道 $A B$ 的距离约为米（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）.

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17. 如图，校园内有一株枯死的大树 $A B$ ，距树12米处有一栋教学楼 $C D$ ，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 $D$ 处，测得点 $B$ 的仰角为45°，点 $A$ 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：① $A B \approx 18.8$ 米；② $C D \approx 8.4$ 米；③若直接从点 $A$ 处砍伐，树干倒向教学楼 $C D$ 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点 $A$ 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 $C D$ 造成危害.其中正确的是.（填写序号，参考数值： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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18. 如图， $C$ 岛在A岛的北偏东 $50 °$ 方向， $C$ 岛在 $B$ 岛的北偏西 $35 °$ 方向，则 $∠ A C B$ 的大小是.

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19. 菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 45 °$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $B C$ 、 $B D$ 上的动点， $C Q + P Q$ 的最小值为.

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20. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物 $A$ 点处测得乙建筑物 $D$ 点的俯角 $α$ 为 $45 °$ ， $C$ 点的俯角 $β$ 为 $58 °$ ， $B C$ 为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度 $C D$ 为 $6 m$ ，则甲建筑物的高度 $A B$ 为 $m$ .（ $s i n 58 ° \approx 0.85$ ， $c o s 58 ° \approx 0.53$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ，结果保留整数）.

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三、解答题

21. 如图所示，为了测量百货大楼 $C D$ 顶部广告牌 $E D$ 的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得 $∠ D A C = 30 °$ ；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得 $∠ E B C = 48 °$ ，仪器高度忽略不计，求广告牌 $E D$ 的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $s i n 48 ° \approx 0.743$ ， $c o s 48 ° \approx 0.669$ ， $t a n 48 ° \approx 1.111$ ）

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22. 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ $\frac{3}{8}$ ， cos22°≈ $\frac{15}{16}$ ， tan22°≈ $\frac{2}{5}$ ， sin67°≈ $\frac{12}{13}$ ， cos67°≈ $\frac{5}{13}$ ， tan67°≈ $\frac{12}{5}$ ．

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23. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某数学小组为测量东楼的高度，在梯步 $A$ 处（如图2）测得楼顶 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，沿坡比为7：24的斜坡 $A B$ 前行25米到达平台 $B$ 处，测得楼顶 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，求东楼的高度DE.（结果精确到1米.参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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24. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94 ， c o s 70 ° \approx 0.34 ， t a n 70 ° \approx 2.75 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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25. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点 $P$ 处，在无外力作用下，弹簧的长度为 $3 c m$ ，即 $P Q = 3 c m$ .开始训练时，将弹簧的端点 $Q$ 调在点 $B$ 处，此时弹簧长 $P B = 4 c m$ ，弹力大小是 $100 N$ ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点 $Q$ 调到点 $C$ 处，使弹力大小变为 $300 N$ ，已知 $∠ P B C = 120 °$ ，求 $B C$ 的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即 $F = k \cdot Δ x$ ， $k$ 是劲度系数， $Δ x$ 是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为 $x_{0}$ ，在外力作用下，弹簧的长度为 $x$ ，则 $Δ x = x - x_{0}$ .

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