2022年中考数学真题分类汇编：22 图形的相似

试卷更新日期：2022-07-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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2. 在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S_△_ADE：S_△_ABC＝（）

A、1：1 B、1：2 C、1：3 D、1：4

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3. 如图所示，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ B D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，下列结论不一定正确的是（）

A、 $O B = \frac{1}{2} C E$ B、 $△ A C E$ 是直角三角形 C、 $B C = \frac{1}{2} A E$ D、 $B E = C E$

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ .设 $A B = x$ ， $A D = y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数关系用图象大致可以表示为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到 $0.01 m$ .参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、 $0.73 m$ B、 $1.24 m$ C、 $1.37 m$ D、 $1.42 m$

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6. 如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S₁ ， △EBD的面积为S₂ ．则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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7. 若 $△ A B C \sim △ D E F$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则 $\frac{A C}{D F} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 90 °$ ， $A B = 9$ ， $B C = 7$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、10 D、 $\frac{35}{4}$

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9. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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11. △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（）

A、54 B、36 C、27 D、21

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12. 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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13. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A、①③ B、①②③ C、②③ D、①②④

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14. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，DE＝6cm，则BC的长为（）

A、9cm B、12cm C、15cm D、18cm

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15. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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二、填空题

16. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米.

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17. 在矩形ABCD中， $A B = 9$ ， $A D = 12$ ，点E在边CD上，且 $C E = 4$ ，点P是直线BC上的一个动点．若 $△ A P E$ 是直角三角形，则BP的长为．

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18. 如图， $△ A B C$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $∠ 1 = ∠ 2 .$ 若 $B C = 4$ ， $A F = 2$ ， $C F = 3$ ，则 $E F =$ .

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19. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 36 °$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A \to B \to C$ 匀速运动至点 $C$ 停止.若点 $P$ 的运动速度为 $1 c m / s$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ， $A P$ 的长度为 $y (c m)$ ， $y$ 与 $t$ 的函数图象如图2所示.当 $A P$ 恰好平分 $∠ B A C$ 时 $t$ 的值为.

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20. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点 $E$ 是 $A D$ 的黄金分割点，即 $D E \approx 0.618 A D$ .延长 $H F$ 与 $A D$ 相交于点 $G$ ，则 $E G \approx$ $D E$ .（精确到0.001）

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三、综合题

21. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0) 、 C (0 ， 3)$ ，并交x轴于另一点B，点 $P (x ， y)$ 在第一象限的抛物线上， $A P$ 交直线 $B C$ 于点D.

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、当点P的坐标为 $(1 ， 4)$ 时，求四边形 $B O C P$ 的面积；

(3)、点Q在抛物线上，当 $\frac{P D}{A D}$ 的值最大且 $△ A P Q$ 是直角三角形时，求点Q的横坐标；

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22. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\frac{1}{4 a}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\frac{1}{4 a}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\frac{1}{2 a}$ ，例如，抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\frac{1}{2}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\frac{1}{2}$ .其中MF=MN，FH=2OH=1.

(1)、【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：， .

(2)、【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝ $\frac{1}{8}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；

(4)、【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\frac{A C}{A B}$ ＝ $\frac{B C}{A C}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当 $\frac{M H}{M F}$ ＝ $\sqrt{2}$ 时，请直接写出△HME的面积值.

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23. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D B E$ 的顶点 $B$ 重合， $∠ A B C = ∠ D B E = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ B D E = 30 °$ ， $B C = 3$ ， $B E = 2$ .

(1)、特例发现：如图1，当点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上时，可以得出结论： $\frac{A D}{C E} =$ ，直线 $A D$ 与直线 $C E$ 的位置关系是；

(2)、探究证明：如图2，将图1中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $D$ 恰好落在线段 $A C$ 上，连接 $E C$ ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展运用：如图3，将图1中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (19 ° < α < 60 °)$ ，连接 $A D$ 、 $E C$ ，它们的延长线交于点 $F$ ，当 $D F = B E$ 时，求 $t a n (60 ° - α)$ 的值.

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24. 回顾：用数学的思维思考

(1)、如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）

(2)、猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3)、探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

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25. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O ，其中水面截线 $MN ∥ AB$ ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．

(1)、求∠C的大小及AB的长；

(2)、请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： $\tan 76 °$ 取4， $\sqrt{17}$ 取4.1）

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