2022年中考数学真题分类汇编：18 四边形

试卷更新日期：2022-07-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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2. 如图，菱形 $A B C D$ 中，点E是边 $C D$ 的中点， $E F$ 垂直 $A B$ 交 $A B$ 的延长线于点F，若 $B F ： C E = 1 ： 2 ， E F = \sqrt{7}$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是（）

A、3 B、4 C、5 D、 $\frac{4}{5} \sqrt{7}$

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3. 如图，在边长为2的等边三角形 $A B C$ 的外侧作正方形 $A B E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $5 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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4. 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若 $∠ 1 = 28 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、28° B、56° C、36° D、62°

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5. 如图，定直线MN $∥$ PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE $∥$ BC $∥$ DF，AE=4，DF=8，AD=24 $\sqrt{3}$ ，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）

A、24 $\sqrt{13}$ B、24 $\sqrt{15}$ C、12 $\sqrt{13}$ D、12 $\sqrt{15}$

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6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点， $O E ⊥ O F$ 交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：① $A E ⊥ B F$ ；② $∠ O P A = 45 °$ ；③ $A P - B P = \sqrt{2} O P$ ；④若 $B E ： C E = 2 ： 3$ ，则 $t a n ∠ C A E = \frac{4}{7}$ ；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②④⑤ B、①②③⑤ C、①②③④ D、①③④⑤

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，P是边 $A D$ 上的一个动点，连接 $B P$ ， $C P$ ，过点B作射线，交线段 $C P$ 的延长线于点E，交边 $A D$ 于点M，且使得 $∠ A B E = ∠ C B P$ ，如果 $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A P = x$ ， $P M = y$ ，其中 $2 < x ⩽ 5$ ．则下列结论中，正确的个数为（）
⑴y与x的关系式为 $y = x - \frac{4}{x}$ ；（2）当 $A P = 4$ 时， $△ A B P ∽ △ D P C$ ；（3）当 $A P = 4$ 时， $t a n ∠ E B P = \frac{3}{5}$ ．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，一定正确的是（）

A、 $A D = C D$ B、 $A C = B D$ C、 $A B = C D$ D、 $C D = B C$

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9. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠到 $△ B E D$ 位置， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $c o s ∠ A D F$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{15}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，连接 $A C$ ，分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ ， $N$ ，直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F .$ 下列结论：
$①$ 四边形 $A E C F$ 是菱形； $② ∠ A F B = 2 ∠ A C B$ ； $③ A C \cdot E F = C F \cdot C D$ ； $④$ 若 $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $C F = 2 B F$ .

其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13. 在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（）

A、80° B、100° C、120° D、140°

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14. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点， $A P ⊥ E F$ 分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$ .正确的有（）

A、只有① B、①② C、①③ D、②③

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15. 在下列条件中，能够判定 $▱ A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = A D$ D、 $A C = B D$

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二、填空题

16. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作 $E F ⊥ B E$ ，分别交 $C D ， B D$ 于点F、G，连接BF，交AC于点H，将 $△ E F H$ 沿EF翻折，点H的对应点 $H^{'}$ 恰好落在BD上，得到 $△ E F H^{'}$ 若点F为CD的中点，则 $△ E G H^{'}$ 的周长是.

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上， $A E = A F ， ∠ E A F = 30 °$ ，则 $∠ A E B =$ $°$ ；若 $△ A E F$ 的面积等于1，则 $A B$ 的值是.

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E$ // $A C$ ， $C E$ // $B D$ .若 $A C = 10$ ，则四边形 $O C E D$ 的周长是.

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19. 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 $A B C D$ ，折痕是 $D M$ ，点 $C$ 落在点 $E$ 处，分别延长 $M E$ 、 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ 、 $G$ ，若点 $M$ 是 $B C$ 边的中点，则 $F G =$ cm.

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20. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O， $A B ∥ C D$ ，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）

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三、解答题

21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ， $O E = O A$ .
求证：四边形 $A E C F$ 是正方形.

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22. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，

∴AC垂直平分BD．

∴AB＝AD，CB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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四、综合题

23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，BD是它的一条对角线，

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ C D B$ ；

(2)、尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、连接BE，若 $∠ D B E = 25 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数.

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD相交于点O， $A B = A D$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF， $E F = \frac{3}{2} ， A O = 2$ ，求BD的长及四边形ABCD的周长.

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25. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F$ .请从以下三个条件：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $D E = D F$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为菱形.

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加了条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为菱形.

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26. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 8$ ，点P在边 $B C$ 上，且不与点B、C重合，直线 $A P$ 与 $D C$ 的延长线交于点E.

(1)、当点P是 $B C$ 的中点时，求证： $△ A B P ≌ △ E C P$ ；

(2)、将 $△ A P B$ 沿直线 $A P$ 折叠得到 $△ A P B^{'}$ ，点 $B^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的内部，延长 $P B^{'}$ 交直线 $A D$ 于点F.
①证明 $F A = F P$ ，并求出在（1）条件下 $A F$ 的值；
②连接 $B^{'} C$ ，求 $△ P C B^{'}$ 周长的最小值；
③如图2， $B B^{'}$ 交 $A E$ 于点H，点G是 $A E$ 的中点，当 $∠ E A B^{'} = 2 ∠ A E B^{'}$ 时，请判断 $A B$ 与 $H G$ 的数量关系，并说明理由.

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