2022年中考数学真题分类汇编：14 二次函数

试卷更新日期：2022-07-12 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知二次函数 $y = m x^{2} - 4 m^{2} x - 3$ （ $m$ 为常数， $m \neq 0$ ），点 $P (x_{p} ， y_{p})$ 是该函数图象上一点，当 $0 \leq x_{p} \leq 4$ 时， $y_{p} \leq - 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ 或 $m < 0$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \leq - 1$ 或 $m > 0$ D、 $m \leq - 1$

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2. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at²+bt≤a+b，其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分函数图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b^{2} - 4 a c$ 与反比例函数 $y = \frac{4 a + 2 b + c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为 $x = - 1$ ，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① $b = 2 a$ ；② $- 3 < a < - 2$ ；③ $4 a c - b^{2} < 0$ ；④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = m - 4$ $(a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 如图，二次函数y＝ax²+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（）

A、b＞0 B、a+b＞0 C、x＝2是关于x的方程ax²+bx＝0（a≠0）的一个根 D、点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）在二次函数的图象上，当x₁＞x₂＞2时，y₂＜y₁＜0

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7. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ， y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ， y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $0 < a < c$ ）经过点 $(1 ， 0)$ ，有下列结论：
① $2 a + b < 0$ ；
②当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 $a x^{2} + b x + (b + c) = 0$ 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - c (a \neq 0)$ ，其中 $b > 0$ 、 $c > 0$ ，则该函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知二次函数y=x²−2x−3的自变量x₁ ， x₂ ， x₃对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ， y₃.当−1<x₁<0，1<x₂<2，x₃>3时，y₁ ， y₂ ， y₃三者之间的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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11. 已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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12. 已知抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 1$ ，下列结论错误的是（）

A、抛物线开口向上 B、抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ C、抛物线的顶点坐标为 $(2 ， 1)$ D、当 $x < 2$ 时，y随x的增大而增大

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13. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + a^{2}$ 与 $y = a^{2} x + a$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0) ， B (6 ， 0)$ ，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $4 a + b = 0$ ；③当 $y > 0$ 时， $- 2 < x < 6$ ；④ $a + b + c < 0$ ．其中正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 点A (m-1，y₁)，B(m，y₂)都在二次函数y=(x-1)²+n的图象上。若y₁<y₂ ，则m的取值范围为（）

A、m>2 B、m> $\frac{3}{2}$ C、m<1 D、 $\frac{3}{2}$ <m<2

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二、填空题

16. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 1$ 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .下列四个结论：
① $b > 0$ ；

②若 $m = \frac{3}{2}$ ，则 $3 a + 2 c < 0$ ；

③若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

④当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根.

其中正确的是（填写序号）.

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18. 如图，用一段长为 $16 m$ 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 $m^{2}$ .

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19. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $h$ （单位：m）与飞行时间 $t$ （单位：s）之间具有函数关系： $h = - 5 t^{2} + 20 t$ ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 $t =$ s.

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20. 抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 .

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三、解答题

21. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

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四、综合题

23. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示.

(1)、求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ .

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $D M$ 交直线 $B C$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点 $N$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $E$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $F$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为 $D (2 ， 1)$ ，抛物线的对称轴交直线 $B C$ 于点E.

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 $h (h > 0)$ ，在平移过程中，该抛物线与直线 $B C$ 始终有交点，求h的最大值；

(3)、M是（1）中抛物线上一点，N是直线 $B C$ 上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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