广西贵港市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-07-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2的倒数是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与俯视图相同 B、主视图与左视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三个视图完全相同

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3. 一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（）

A、5，4.5 B、4.5，4 C、4，4.5 D、5，5

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4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到 $28 n m$ .已知 $1 n m = 1 0^{- 9} m$ ，则 $28 n m$ 用科学记数法表示是（）

A、 $28 \times 1 0^{- 9} m$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 9} m$ C、 $2.8 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 10} m$

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5. 下例计算正确的是（）

A、 $2 a - a = 2$ B、 $a^{2} + b^{2} = a^{2} b^{2}$ C、 $(- 2 a)^{3} = 8 a^{3}$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$

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6. 若点 $A (a ， - 1)$ 与点 $B (2 ， b)$ 关于y轴对称，则 $a - b$ 的值是（）

A、-1 B、-3 C、1 D、2

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7. 若 $x = - 2$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）

A、0，-2 B、0，0 C、-2，-2 D、-2，0

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8. 下列命题为真命题的是（）

A、 $\sqrt{a^{2}} = a$ B、同位角相等 C、三角形的内心到三边的距离相等 D、正多边形都是中心对称图形

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9. 如图，⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是⊙ $O$ 的直径，点P在⊙ $O$ 上，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 $45 °$ ，在点B处测得树顶C的仰角为 $60 °$ ，且A，B，D三点在同一直线上，若 $A B = 16 m$ ，则这棵树 $C D$ 的高度是（）

A、 $8 (3 - \sqrt{3}) m$ B、 $8 (3 + \sqrt{3}) m$ C、 $6 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $6 (3 + \sqrt{3}) m$

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11. 如图，在 $4 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $c o s ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

13. 若 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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14. 因式分解： $a^{3} - a =$ ．

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15. 从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是.

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16. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C ， ∠ C A D = 25 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数是.

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = \frac{2}{3} A B ， ∠ B A D = 45 °$ ，以点A为圆心、 $A D$ 为半径画弧交 $A B$ 于点E，连接 $C E$ ，若 $A B = 3 \sqrt{2}$ ，则图中阴影部分的面积是.

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $| 1 - \sqrt{3} | + {(2022 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - t a n 60 °$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 5 < 0 ① \\ 1 - \frac{2 x - 4}{3} \leq \frac{5 - x}{2} ② \end{array}$

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20. 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作 $△ A B C$ ，使 $∠ A = 90 ° ， A B = m ， B C = n$ .

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21. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象相交于点A和点 $C (3 ， 2)$ ，与x轴的正半轴相交于点B.

(1)、求k的值；

(2)、连接 $O A ， O C$ ，若点C为线段 $A B$ 的中点，求 $△ A O C$ 的面积.

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22. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是；

(4)、若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数.

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23. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.

(1)、绳子和实心球的单价各是多少元？

(2)、如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

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24. 图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是 $A B$ 边的中点，点O在 $A C$ 边上，⊙ $O$ 经过点C且与 $A B$ 边相切于点E， $∠ F A C = \frac{1}{2} ∠ B D C$ .

(1)、求证： $A F$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ ，求⊙ $O$ 的半径及 $O D$ 的长.

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25. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (0 ， 3)$ 和 $B (\frac{7}{2} ， - \frac{9}{4})$ 两点，直线 $A B$ 与x轴相交于点C，P是直线 $A B$ 上方的抛物线上的一个动点， $P D ⊥ x$ 轴交 $A B$ 于点D.

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若 $P E ∥ x$ 轴交 $A B$ 于点E，求 $P D + P E$ 的最大值；

(3)、若以A，P，D为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.

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26. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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