浙江省宁波市镇海区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-07-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合.下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 经配方后，可化为（）

A、 $(x - 2)^{2} = 10$ B、 $(x + 2)^{2} = 10$ C、 $(x - 2)^{2} = 8$ D、 $(x + 2)^{2} = 8$

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3. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）

A、每一个内角都大于60° B、每一个内角都小于60° C、有一个内角大于60° D、有一个内角小于60°

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120 ° ， ∠ C = 70 °$ ，将 $△ B M N$ 沿 $M N$ 翻折，得到 $△ E M N$ .若 $M E ∥ A D ， E N ∥ D C$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $85 °$ D、 $95 °$

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5. 已知点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(- 1 ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{m^{2} + 1}{x}$ （m为常数）的图象上，那么 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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6. 将抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = (x - 4)^{2} - 6$ B、 $y = (x - 1)^{2} - 3$ C、 $y = (x - 2)^{2} - 2$ D、 $y = (x - 4)^{2} - 2$

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7. 如图，一块长方形场地 $A B C D$ 的长 $A B$ 与宽 $A D$ 的比为2∶1， $D E ⊥ A C$ 于点E， $B F ⊥ A C$ 于点F，连接 $B E ， D F$ ，则四边形 $D E B F$ 与长方形 $A B C D$ 的面积比为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 $A C 、 B D$ 交于原点O， $D F ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点G，反比例函数 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图象经过线段 $D C$ 的中点E，若 $B D = 8$ ，则 $A G$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 经过 $(- 2 ， n) ， (4 ， n)$ 两点，若点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 也在抛物线上，且满足 $x_{1} < x_{2} ， x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} ， y_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、无法确定

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10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示.连接 $A F ， C H$ ，设正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $E F G H$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $A F C H$ 的面积为 $S_{3}$ .若 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $∠ E A F = 45 °$ B、 $∠ B A E = 60 °$ C、 $B E = 2 A E$ D、 $B E = 3 A E$

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二、填空题

11. 代数式 $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ 有意义，则x的取值范围是.

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12. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是．

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13. 若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x²-7x+12=0的实数根，则菱形ABCD的面积为

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14. 2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟十二号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业.现对学员们进行招飞前考核，其中某位学员心理素质、身体素质、科学头脑、应变能力四项测试得分分别为86分、85分、88分、90分，若按照心理素质、身体素质、科学头脑、应变能力的占比为4∶3∶2∶1的比例确定总分，则该名学员的总分为分.

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ O A B C$ 的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象经过点A，与 $B C$ 边交于点D，若 $△ O C D$ 与 $△ A B D$ 的面积相等，则 $△ O A D$ 的面积为.

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16. 如图1， $▱ A B C D$ 中两条对角线 $A C 、 B D$ 交于点O， $A B = 5 \sqrt{5}$ ，点P从顶点B出发，沿 $B \to C \to D$ 以每秒 $1 c m$ 的速度匀速运动到点D，图2是点P运动过程中线段 $O P$ 的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为，点N的纵坐标为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{2}) - (\sqrt{18} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}})$

(2)、 $(\sqrt{3} - 2)^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

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18. 如图是由边长为1的小正方形构成的 $6 \times 6$ 的网格，点 $A ， B$ 均在格点上.

(1)、在图1中画出以 $A B$ 为对角线的正方形 $A C B D$ ，点 $C ， D$ 为格点.

(2)、在图2中画出以 $A B$ 为边且周长最大的平行四边形 $A B C D$ ，点 $C ， D$ 为格点 (画一个即可).

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19. 为了响应市“科学应对、群防群控、增强体质、战胜疫情”的号召，学校决定开展多项体育活动比赛，从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）.
甲组成绩统计表：
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
甲组成绩统计图：
请根据上面的信息，解答下列问题：

(1)、甲组成绩的众数是；

(2)、m= ，乙组成绩的中位数是；

(3)、已知甲组成绩的方差 $S_{甲}^{2} = 0.81$ ，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？

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20. 如图，一次函数y₁＝kx+b（k≠0）与反比例函数y₂＝ $\frac{m}{x}$ （m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；

(3)、求不等式kx+b﹣ $\frac{m}{x}$ ＜0的解集.（请直接写出答案）

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21. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C ， A B = A D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点O， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、如图2，点E是 $C D$ 边上一点，将四边形 $A D E B$ 沿着 $B E$ 翻折得到四边形 $A^{'} D^{'} E B$ ，若点 $D^{'}$ 恰好落在边 $D C$ 的中点处，且 $B D^{'} = 2 \sqrt{2}$ ，求菱形 $A B C D$ 的周长.

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22. “燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元.规定销售单价不低于44元，且不高于60元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售.经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.

(1)、求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；

(2)、将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

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23. 阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.

【材料二】若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则有： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

(2)、若 $M_{1} (t ， y_{1}) ， M_{2} (t - 1 ， y_{2}) ， M_{3} (t + 1 ， y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 构成“友好数”，求实数t的值；

(3)、设三个实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 是“友好数”且满足 $0 < x_{1} < x_{3} < x_{2}$ ，其中 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $n x^{2} + m x + n = 0 (n \neq 0)$ 的两个根， $x_{3}$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴的一个交点的横坐标.
① $a + b + c$ 的值等于；

②设 $x = \frac{b}{a} ， y = \frac{b^{2} + a c}{a^{2}}$ ，求y关于x的函数关系式.

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24. 平移是一种基本的几何图形变换，利用平移可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A C ⊥ B D$ ，若 $A C = 3 ， B D = 5$ ，求 $A D + B C$ 的值.
小明发现，平移 $A C$ 至 $D E$ ，构造 $▱ A C E D$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

(1)、【求解体验】
请根据小明的思路求 $A D + B C$ 的值.

(2)、【尝试应用】
如图3，在矩形 $A B C D$ 和 $▱ A B E F$ 中，连结 $D F 、 A E$ 交于点G，连接 $D B$ .若 $A E = D F = D B$ ，求 $∠ F G E$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】
如图4，在（2）的条件下，连结 $B F$ ，若 $A B = A D ， F G = 2$ ，求 $△ B D F$ 的面积.

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成绩	7	8	9	10
人数	1	9	5	5