天津市西青区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 - i) = 2 i$ ，则复数 $z$ 为（）

A、 $i - 1$ B、 $i + 1$ C、 $- i + 1$ D、 $- i - 1$

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2. 在相距2千米的 $A$ 、 $B$ 两点处测量目标 $C$ ，若 $∠ C A B = 75 °$ ， $∠ C B A = 60 °$ ，则 $A$ ， $C$ 两点之间的距离是（）千米．

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、6 D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（）
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200

A、0.1 B、0.2 C、0.4 D、0.6

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4. 已知正 $△ A B C$ 的边长为4，那么 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5. 设 $α$ 是一个平面， $m$ 、 $n$ 是两条直线，则正确的命题为（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ m$ ，那么 $n / / α$ C、如果 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，那么 $n ⊥ α$ D、如果 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，那么 $m ⊥ n$

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6. 2020年是天津市实施高考综合改革的第一年，新高考规定：语文，数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3个作为选考科目．某考生已确定选定物理作为自己的选考科目，然后从剩下的5个等级考试科目中再选择2个等级考试科目组成自己的选考方案，则考生”选择思想政治、生物”和“选择化学、地理”为（）

A、相互独立事件 B、对立事件 C、不是互斥事件 D、互斥事件但不是对立事件

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7. 若 $| \vec{a} | = 8$ ， $| \vec{b} | = 12$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、48 C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} \vec{b}$ D、 $48 \vec{b}$

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8. 在抗击“新冠肺炎”疫情期间．在全国人民的努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制，如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．则（）

A、甲省的平均数比乙省的平均数大 B、甲省的方差比乙省的方差大 C、甲省的中位数是27 D、乙省的极差是13

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9. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{∣ \vec{A C ∣}} = - \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰非等边三角形 B、等边三角形 C、三边均不相等的三角形 D、直角三角形

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二、填空题

10. 为做好“新冠肺炎”防疫防控工作，西青区学校坚持落实每日体温检测制度，以下为某校某班级六名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，35.9，36.2，36.6（单位：℃），则该组数据的第70百分位数．

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11. 若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为 $36 π$ ，则该正方体的棱长为

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12. 复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ， ① $| z | = \sqrt{5}$ ；② $\bar{z} = 2 i - 1$ ；③复数 $z$ 的虚部为 $2 i$ ；④ $x = z$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为．

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13. 已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体， $E$ ， $F$ 分别是 $B D_{1}$ ， $A B$ 的中点，异面直线 $E F$ 与 $B D$ 所成的角为

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14. 已知如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $H$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $D C$ 的中点， $F$ 是上 $B C$ 一点，且 $B F = \frac{1}{3} B C$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{H F} =$ ．

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15. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲射击击中靶子的概率为0.6，乙射击击中靶子概率为0.8，则"恰好有一人击中靶子"的概率为；"至少有一个人击中靶子”"的概率为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a > c$ ， $s i n B = \frac{\sqrt{3} b}{2 c}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 1$ ，求边长 $c$ ．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 ， - 3)$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，且 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{5}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(3)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数 $k$ 的值．

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18. 百年传承，红色激荡，今年是伟大的中国共产党建党100周年．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进高中学生对党史加识的了解，西青区某校就党史知识了解情况随机抽样100名学生进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名学生成绩都在 $[75$ ， $100]$ 内，按成绩分为5组，第一组 $[75$ ， $80)$ ，第二组 $[80$ ， $85)$ ，第三组 $[85$ ， $90)$ ，第四组 $[90$ ， $95)$ ，第五组 $[95$ ， $100]$ ，并绘制出频率分布直方图，如图所示．现在用分层抽样的方法在第3，4，5组中共选取6人对“党史知识“作深入学习．

(1)、求第3，4，5组分别选取“对党史知识”作深入学习的人数；

(2)、已知甲、乙、丙3人分别在第3，4，5组，且甲、乙、丙都被选取对“党史知识”作深入学习．若要从选取的这6人中随机抽取2人参加“学党史、强信念、跟党走”巡讲团．（每人被选到的可能性相同）
（ⅰ）请列出所有可能结果构成的样本空间；
（ⅱ）求甲、乙、丙这3人中至多有一人被选中参加“学党史、强信念、跟党走”巡讲团的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A D$ ， $E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点.

求证：

(1)、 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；

(2)、 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、平面 $B E F ⊥$ 平面 $P C D$ .

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20. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，若 $\vec{m} = (b s i n B - a s i n A ， c - b)$ ， $\vec{n} = (1 ， s i n C)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 7$ ， $b + c = 8$ 时，求 $Δ A B C$ 的面积．

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体重变化	体重减轻	体重不变	体重增加
人数	600	200	200