江西省宜春市2021-2022学年高一下学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = s i n \frac{2 π}{3} + i c o s \frac{2 π}{3}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - m \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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3. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} + α) c o s α =$ （）

A、 $- \frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为 $4 \sqrt{21}$ ，侧面与底面所成的锐二面角为 $θ$ ，这个角接近30°，若取 $θ = 30 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、正四棱锥的底面边长为48m B、正四棱锥的高为4m C、正四棱锥的体积为 $768 \sqrt{3} m^{2}$ D、正四棱锥的侧面积为 $96 \sqrt{3} m^{2}$

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5. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $c s i n A = a c o s (C + \frac{π}{6})$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、1 C、13 D、4

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6. 已知 $a$ 、 $b$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ B、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $a ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ， $b / / β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若 $a / / α$ ， $b / / β$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的一个单调递增区间为（）

A、 $[- \frac{5 π}{3} ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8}]$ D、 $[\frac{3 π}{8} ， \frac{π}{2}]$

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8. 设 $P$ 是 $△ A B C$ 内部一点，且 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} = - 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，定义 $f (P) = (m ， n ， k)$ （其中 $m$ 、 $n$ 、 $k$ 分别是 $△ P A B$ 、 $△ P A C$ 、 $△ P B C$ 的面积），现已知 $f (P) = (\frac{1}{4} ， x ， y)$ ，则 $\frac{4 x + y}{x y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{27}{4}$ B、9 C、 $\frac{21}{2}$ D、12

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二、多选题

9. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同的平面，下列四个命题中错误的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$ B、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α ∩ β = c$ ，则 $c ⊥ γ$ C、若 $a \subset α$ ， $a ∥ β$ ， $b \subset β$ ， $b ∥ α$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = c$ ， $A \in α$ ， $A B ⊥ c$ ，则 $A B ⊥ β$

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10. 已知函数 $f (x) = 3 c o s (- 2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 可以改写成 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 已知 $c o s (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $c o s 2 α = - \frac{5}{13}$ ，其中 $α$ ， $β$ 为锐角，以下判断正确的是（）

A、 $s i n 2 α = \frac{12}{13}$ B、 $c o s (α - β) = \frac{19}{65} \sqrt{5}$ C、 $c o s α c o s β = \frac{8}{65} \sqrt{5}$ D、 $t a n α t a n β = \frac{11}{8}$

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12. $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ C A B = 12 0^{∘}$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 0$ B、 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影等于 $- 2$ C、 $\vec{G B} \cdot \vec{A G} = - \frac{4}{3}$ D、 $\vec{A P} \cdot (\vec{B P} + \vec{C P})$ 的最小值为 $- \frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{| a |} = 2$ ， $\vec{| b |} = 1$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{6}$ ．则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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14. 若复数z满足 $(1 + 2 i) z - i = 3$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ .

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15. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B A$ ， $B C$ ， $B B_{1}$ 两两垂直，且 $B A = B C = B B_{1} = 4$ ，点 $E$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内(含边界)，若 $| B E | = 3 | E B_{1} |$ ，则 $| A E |$ 长度的最大值为

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16. 如图，平面四边形 $A B C D ， ∠ B = ∠ D = 9 0^{∘} ， ∠ A = 12 0^{∘} ， A B = A D = 2$ ，将 $Δ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $Δ P A C$ 的位置，此时二面角 $B - A C - P$ 的大小为 $6 0^{∘}$ ，连接 $B P$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为；三棱锥 $P - A B C$ 的体积为.

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (3 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 2)$ ， $C (- 1 ， 4)$

(1)、以线段 $A B$ ， $A C$ 为邻边作平行四边形 $A C D B$ ，求向量 $\vec{A D}$ 的坐标和 $\vec{| A D |}$ ；

(2)、设实数 $t$ 满足 $(\vec{A B} - t \vec{O C}) / / \vec{B C}$ ，求 $t$ 的值．

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18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ， $\frac{S}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $S = \sqrt{3}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ， $A D / / B C$ ， $P D ⊥ P B$ ， $A D = 1$ ， $B C = 3$ ， $C D = 4$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $P C ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} c o s 2 x$ ， $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上有唯一的一个实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 如图， $C M$ ， $C N$ 为某公园景观湖畔的两条木栈道， $∠ M C N = 12 0^{∘}$ ，现拟在两条木栈道的 $A$ ， $B$ 处设置观景台，记 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ （单位：百米）

(1)、若 $b - a = c - b = 4$ ，求 $b$ 的值；

(2)、已知 $A B = 9$ ，记 $∠ A B C = θ$ ，试用 $θ$ 表示观景路线 $A - C - B$ 的长，并求观景路线 $A - C - B$ 长的最大值．

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22. 如图1，已知三棱锥 $P - A B C$ ，图2是其平面展开图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ A B E$ 和 $△ B C F$ 均为正三角形， $O$ ， $G$ 分别为 $A C$ ， $P A$ 的中点， $A B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $O G ⊥ A P$ ；

(2)、求二面角 $C - P A - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在棱 $P C$ 上，满足 $\frac{C M}{C P} = λ$ ， $λ \in [\frac{3}{4} ， \frac{4}{5}]$ ，点 $N$ 在棱 $B P$ 上，且 $B M ⊥ A N$ ，求 $\frac{P N}{P B}$ 的取值范围．

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