（北师大版）2022-2023学年度第一学期九年级数学2.3 用公式法求解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2022-07-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 将关于x的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) = \cdot \cdot \cdot$ ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $1 + \sqrt{5}$ C、 $3 - \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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2. 已知a是一元二次方程x²﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）

A、﹣2＜a＜﹣1 B、2＜a＜3 C、﹣4＜a＜﹣3 D、4＜a＜5

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的根是（）

A、 $\frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ B、 $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ C、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2}$ D、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

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4. $x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} + 4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2}$ 是下列哪个一元二次方程的根（）

A、 $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ B、 $2 x^{2} - 7 x - 3 = 0$ C、 $2 x^{2} + 7 x - 3 = 0$ D、 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

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5. 若 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \times 3 \times (- 1)}}{2 \times 3}$ 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）

A、3x²+2x﹣1＝0 B、2x²+4x﹣1＝0 C、﹣x²﹣2x+3＝0 D、3x²﹣2x﹣1＝0

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6. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x²－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（）

A、5 B、3或5 C、13 D、11或13

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7. 已知 $α$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 较大的根，则下列对 $α$ 值估计正确的是（）

A、 $2 < α < 3$ B、 $1.5 < α < 2$ C、 $1 < α < 1.5$ D、 $0 < α < 1$

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a $<$ 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 $x^{2} + 2 a x - 4 = 0$ 的一个根（）

A、线段AE的长 B、线段BF的长 C、线段BD的长 D、线段DF的长

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9. 已知一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的较小根为x₁ ，则下面对x₁的估计正确的是

A、 $- {2<x}_{1} < - 1$ B、 $- {3<x}_{1} < - 2$ C、 ${2<x}_{1} < 3$ D、 $- {1<x}_{1} < 0$

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10. 已知m、n是方程x²﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（　　）

A、0和1之间 B、1和1.5之间 C、1.5和2之间 D、2和3之间

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二、填空题

11. 方程x²﹣3x＝4的根是.

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12. 已知 $x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2}$ （b²－4c≥0），则 x²＋bx＋c的值为.

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13. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $(a ， b)$ 在直线 $y = 2 c x + c^{2} + 2 (c > 0)$ 上，且满足 $a^{2} + b^{2} - 2 (1 + 2 b c) + 4 c^{2} + b = 0$ ，则 $c =$ .

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14. 如果关于x的方程 $x^{2} - 2 (a + 1) x + 2 a + 1 = 0$ 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是.

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15. 对于实数a、b，定义新运算“ $\otimes$ ”： a $\otimes$ b=a²-ab，如4 $\otimes$ 2=4²-4×2=8。若x $\otimes$ 4=-4，则实数x的值是。

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三、解答题

16. 解方程

(1)、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

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17. 定义运算： $m * n = m n^{2} - m n - 3$ ，例如： $4 * 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 3 = 5$ ．解方程： $1 * x = 0$ ．

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18. 解关于 $x$ 的方程： $a x^{2} + b x + c = 0$ （a、b、c为常数且a $\neq 0$ ）

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19. 先化简再计算： $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} \div (x - \frac{2 x - 1}{x})$ ，其中x是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的正数根.

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20. 用公式法解方程：2x²-7x+3=0．(提示：求根公式为 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ )

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21.
如果关于的一元二次方程 $(x - m) (m x + 2) = m - 6$ 的各项系数之和等于8，求的值．

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22.
关于x的一元二次方程 $(n - 1) x^{2} + x + n^{2} + 2 n - 3 = 0$ 的一个根是0，求n的值．

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23. 已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，求a²-4a+2012的值．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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