（北师大版）2022-2023学年度第一学期九年级数学2.2 用配方法求解一元二次方程同步测试

试卷更新日期：2022-07-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用配方法解一元二次方程x²﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　）

A、（x﹣5）²＝4 B、（x+5）²＝4 C、（x﹣5）²＝121 D、（x+5）²＝121

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2. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 10 = 0$ 通过配方转化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 8)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 4)}^{2} = - 6$ D、 ${(x - 8)}^{2} = 54$

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3. 用配方法解方程x²－4x－3＝0时，配方后的方程为（）

A、（x＋2）²＝1 B、（x－2）²＝1 C、（x＋2）²＝7 D、（x－2）²＝7

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4. 将一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 化成 ${(x - a)}^{2} = b$ （a，b为常数）的形式，a，b的值分别为（）

A、 $a = 2 ， b = 3$ B、 $a = 2 ， b = 5$ C、 $a = - 2 ， b = 3$ D、 $a = - 2 ， b = 5$

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5. 若将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 9 = 0$ 化成 ${(x + n)}^{2} = d$ 的形式，则 $n ， d$ 的值分别是（）

A、4，25 B、-4，25 C、-2，5 D、-8，73

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6. 慧慧将方程2x²+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）²＝p的形式，则p的值为（）

A、7 B、8 C、3.5 D、4.5

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7. 在解方程 $2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（）

小思：

$2 x^{2} + 4 x = - 1$

$x^{2} + 2 x = - \frac{1}{2}$

$x^{2} + 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + 1$

${(x + 1)}^{2} = \frac{1}{2}$

小博

$2 x^{2} + 4 x = - 1$

$4 x^{2} + 8 x = - 2$

$4 x^{2} + 8 x + 4 = - 2 + 4$

${(2 x + 2)}^{2} = 2$

A、两人都正确 B、小思正确，小博不正确 C、小思不正确，小博正确 D、两人都不正确

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 可以通过配方写成 ${(x - n)}^{2} = 0$ 的形式，那么下列关于 $m ， n$ 的值正确的是（）

A、 $m = 25 ， n = 5$ B、 $m = 20 ， n = 5$ C、 $m = 100 ， n = 10$ D、 $m = 20 ， n = - 5$

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9. 对于两个实数a，b，用 $max (a ， b)$ 表示其中较大的数，则方程 $x \times max (x ， - x) = 2 x + 1$ 的解是（）

A、 $1$ ， $1 + \sqrt{2}$ B、 $1$ ， $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1$ ， $1 + \sqrt{2}$ D、 $- 1$ ， $1 - \sqrt{2}$

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10. 将关于x的方程x²﹣6x＋8＝0配方成（x﹣3）²＝p的形式，则p的值是（）

A、1 B、28 C、17 D、44

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二、填空题

11. 若将方程x²-6x=7化为(x+m)²=b的形式，则m= ， b= ．

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12. 一元二次方程x²﹣8x﹣1=0配方后可变形为．

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13. 若将方程x²+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）²＝n，则m+n的值是 .

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14. 方程x²+2x–2=0配方得到（x+m）²=3，则m= ．

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15. 方程x²－8x－4=0化为(x+m)²=n的形式是.

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三、解答题

16. 用配方法解方程：x²-2x-24=0.

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17. 已知当x=2时，二次三项式 $x^{2} - 2 m x + 8$ 的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？

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18. 用配方法解方程 $2 x^{2} - \sqrt{2} x - 30 = 0$ ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 $x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x = 15$ ，
配方，得 $x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} x + {(\frac{1}{2})}^{2} = 15 + \frac{1}{4}$ ，
即 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{61}{4}$ ，
解得 $x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$ ，
即 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{61}}{2} ， x_{2} = \frac{1 - \sqrt{61}}{2}$ ．

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19. 已知等腰三角形的一边长为3，它的其它两边长恰好是关于x的一元二次方程x²-8x+m=0的两个实数根，求m的值.

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四、综合题

20. 下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解∶2x²＋4x-6=0

二次项系数化为1，得x²+2x-3=0．……………………… 第一步

移项，得x²+2x=3．…………………………………… ……第二步

配方，得x²+2x+4=3+4．即（x+2）²=7．…………… ………第三步

由此，可得x+2=± $\sqrt{7}$ ． ………………………………… 第四步

x₁=2＋ $\sqrt{7}$ ，x₂=2- $\sqrt{7}$ ．……………………………………第五步

任务∶

(1)、上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是；其中配方法依据的一个数学公式是；

(2)、“第二步”变形的依据；

(3)、上面小勇同学的解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解答过程．

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21. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + = 0$ ．

(1)、若“ ”表示常数 $- 7$ ，请你用配方法解方程： $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ ；

(2)、若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 $x^{2} - 6 x + = 0$ 有实数根．求“ ”的最大值．

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22. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程 $x (x + 8) = 4$ ．

解：原方程可变形，得 $[(x + 4) - 4] [(x + 4) + 4] = 4$ ，

${(x + 4)}^{2} - 4^{2} = 4$ ，

${(x + 4)}^{2} = 20$ ，

直接开平方，得 $x_{1} = - 4 + 2 \sqrt{5}$ ， $x_{2} = - 4 - 2 \sqrt{5}$ ．

我们称这种解法为“平均数法”

(1)、下面是小明用“平均数法”解方程 $(x + 2) (x + 8) = 40$ 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得 $[(x + a) - b] [(x + a) + b] = 40$ ，

${(x + a)}^{2} - b^{2} = 40$ ，

${(x + a)}^{2} = 40 + b^{2}$ ，

直接开平方，得 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = d$ ．

上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是，，，．

(2)、请用“平均数法”解方程： $(x - 2) (x + 6) = 4$ ．

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23. 已知：整式 $A = {(x - 1)}^{2}$ ，整式 $B = 4 x$ ，整式 $C = x^{2} - 7$ ．

(1)、求A+B的值；

(2)、分解因式：A+B；

(3)、若 $C - B = 0$ ，求x的值．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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