人教A版（2019）选择性必修第一册第一章第1节空间向量及其运算测试卷

试卷更新日期：2022-07-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F C}$ ，记 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 分别为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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2. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，P为 $△ B C D$ 内一点，若 $S_{△ P B C} = 1$ ， $S_{△ P C D} = 2$ ， $S_{△ P B D} = 3$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M、N分别在线段OA、BC上，且 $2 O M = M A$ ， $C N = 2 N B$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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4. 如图，边长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，则 $\vec{D A}$ • $\vec{B D_{1}}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 下列说法错误的是（）

A、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定共面 B、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ C、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 一定不共面 D、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

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6. 已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且 $\vec{P A} = \frac{5}{3} \vec{P B} - x \vec{P C} - \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，则实数x的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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7. 已知 $A ， B ， C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若由 $\vec{O M} = 3 \vec{O A} - \vec{O B} + λ \vec{O C}$ 确定的点 $M$ 与 $A ， B ， C$ 共面，则 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 如图，四面体 $O$ - $A B C$ ， $G$ 是底面△ $A B C$ 的重心， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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9. 在下列四个命题中：
①若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定不共面；②向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (- 4 ， 2 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 $m < 5$ ；③直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 的一个方向向量为 $(1 ， - \frac{b}{a})$ ；④若存在不全为0的实数 $x ， y ， z$ 使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面．其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知不共线的两个向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ ，若 $\vec{a} = \vec{m} + \vec{n}$ 、 $\vec{b} = \vec{m} - \vec{n}$ 、 $\vec{c} = \vec{m}$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ 、 $\vec{c}$ 共线 B、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共面 C、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共线 D、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共线

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则 $E F$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、多选题

12. 下列说法正确的是（）

A、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定共面 B、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 一定不共面 C、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ D、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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13. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的侧棱长是底面边长的 $\sqrt{3}$ 倍， $O$ 为底面中心， $E$ 是 $S B$ 的中点， $A C = 2$ ，则（）

A、异面直线 $A E$ ， $S C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ B、 $S A = \sqrt{6}$ C、异面直线 $A E$ ， $S C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ D、 $S O = \sqrt{5}$

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三、填空题

14. 已知 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ，且 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则实数 $x + y + z$ 的值为.

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15. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，M､N分别是 $A_{1} B_{1}$ ､ $C C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成的角的正弦值为.

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16. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ，点 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上一点，记 $λ = \frac{A P}{A C_{1}}$ ，当 $∠ B P D$ 为钝角时，实数 $λ$ 的取值范围是.

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17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $D_{1} B$ 上的动点， $M ， N$ 分别为棱 $B C ， A B$ 的中点，若 $D P / /$ 平面 $B_{1} M N$ ，则 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} =$ ．

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四、解答题

18. 已知空间三点 $a = \sqrt{2}$ ， $B (- 2 ， 1 ， 6)$ ， $C (1 ， - 1 ， 5)$ .

(1)、求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

(2)、设 $D (x ， 1 ， - 1)$ ，若A，B，C，D四点共面，求 $x$ 的值

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19. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1 ， ∠ B A D = 60^{°}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45^{°}$ .

求：(Ⅰ) $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ ；

(Ⅱ) $A C_{1}$ 的长.

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 与正三角形 $D E F$ 所在平面互相垂直， $∠ B C D = 60 °$ ， $E$ ， $G$ 分别是线段 $A B$ ， $C F$ 的中点．

(1)、求证： $B G //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $D E G$ 所成角的正弦值．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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