2022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲

试卷更新日期：2022-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R$ ，若对任意 $x \in R ， a | x - b | + | x - 4 | - | 2 x - 5 | \geq 0$ ，则（）

A、 $a \leq 1 ， b \geq 3$ B、 $a \leq 1 ， b \leq 3$ C、 $a \geq 1 ， b \geq 3$ D、 $a \geq 1 ， b \leq 3$

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二、解答题

2. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 + t}{6} \\ y = \sqrt{t} \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{2 + s}{6} \\ y = - \sqrt{s} \end{array}$ （s为参数）．

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos θ - \sin θ = 0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

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3. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2 t ， \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) + m = 0$ ．

(1)、写出l的直角坐标方程；

(2)、若l与C有公共点，求m的取值范围．

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4. 已知a，b，c均为正数，且 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 3$ ，证明：

(1)、 $a + b + 2 c \leq 3$ ；

(2)、若 $b = 2 c$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3$ ．

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5. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

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