2022年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何

试卷更新日期：2022-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、 $22 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{22}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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2. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A C = A A_{1}$ ，E，F分别是棱 $B C ， A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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3. 正三棱台高为1，上下底边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）

A、100π B、128π C、144π D、192π

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4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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5. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 π$ ，侧面积分别为 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$ ，体积分别为 $V_{甲}$ 和 $V_{乙}$ ．若 $\frac{S_{甲}}{S_{乙}} = 2$ ，则 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30 °$ ，则（）

A、 $A B = 2 A D$ B、AB与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ C、 $A C = C B_{1}$ D、 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的六条棱长均为6， $S$ 是 $△ A B C$ 及其内部的点构成的集合，设集合 $T = {Q \in S | P Q ⩽ 5}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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10. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $π$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3} ，$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A、 $[18 ， \frac{81}{4}]$ B、 $[\frac{27}{4} ， \frac{81}{4}]$ C、 $[\frac{27}{4} ， \frac{64}{3}]$ D、[18，27]

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11. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 $140.0 m^{2} ；$ 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 $180.0 m^{2} .$ 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（） $(\sqrt{7} \approx 2.65)$

A、 $1.0 \times 10^{9} m^{3}$ B、 $1.2 \times 10^{9} m^{3}$ C、 $1.4 \times 10^{9} m^{3}$ D、 $1.6 \times 10^{9} m^{3}$

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12. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）

A、棱柱 B、圆柱 C、圆台 D、球

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13. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，N是棱 $D D_{1}$ 的中点，则直线CN与平面 $D B B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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14. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次

A、0 B、2 C、4 D、12

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二、多选题

15. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F B ∥ E D ， A B = E D = 2 F B$ ，记三棱锥 $E - A C D$ ， $F - A B C$ ， $F - A C E$ 的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} ， V_{3}$ ，则（）

A、 $V_{3} = 2 V_{2}$ B、 $V_{3} = 2 V_{1}$ C、 $V_{3} = V_{1} + V_{2}$ D、 $2 V_{3} = 3 V_{1}$

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ，$ 则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45^{\circ}$

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三、填空题

17. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\overset{⇀}{E F} = 2 x \overset{⇀}{A V} + y \overset{⇀}{B C} (x > 0 ， y > 0)$ 则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

18. 如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $D C ∥ E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E ， B C$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $F N ⊥ A D$ ；

（Ⅱ）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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19. 如图， $P O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的高， $P A = P B$ ， $A B ⊥ A C$ ，E是 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $O E ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $∠ A B O = ∠ C B O = 30 °$ ， $P O = 3$ ， $P A = 5$ ，求二面角 $C - A E - B$ 的正弦值．

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20. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为AC的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面ACD；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在BD上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积．

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D ， C D ∥ A B ， A D = D C = C B = 1 ， A B = 2 ， D P = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求PD与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

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22. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $△ E A B ， △ F B C ， △ G C D ， △ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

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23. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

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24. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A C$ 的中点．

（I）求证： $M N //$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值。

条件①： $A B ⊥ M N$ ；

条件②： $B M = M N$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

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25. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ '的面积为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B ，$ 平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1} ，$ 求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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26. 如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，底面半径为1， $A A_{1}$ 为圆柱母线.

(1)、若 $A A_{1} = 4$ ，M为 $A A_{1}$ 中点，求直线 $M O_{1}$ 与底面的夹角大小；

(2)、若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

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