2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何

试卷更新日期：2022-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P ， A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

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3. 设F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点A在C上，点 $B (3 ， 0)$ ，若 $| A F | = | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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4. 双曲线C的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 $F_{1}$ 作D的切线与C交于M，N两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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5. 若直线 $2 x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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6. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的六条棱长均为6， $S$ 是 $△ A B C$ 及其内部的点构成的集合，设集合 $T = {Q \in S | P Q ⩽ 5}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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7. 已知圆M的方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则圆心M的坐标是（）

A、（ $- 1$ ，2） B、（1，2） C、（1， $- 2$ ） D、（ $- 1$ ， $- 2$ ）

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8. 设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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二、多选题

9. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 $M (p ， 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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10. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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三、填空题

11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，交双曲线的渐近线于点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ．若 $| F B | = 3 | F A |$ ，则双曲线的离心率是．

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 $| M A | = | N B | ， | M N | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线l的方程为．

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13. 已知点 $A (- 2 ， 3) ， B (0 ， a)$ ，若直线 $A B$ 关于 $y = a$ 的对称直线与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 存在公共点，则实数a的取值范围为．

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14. 若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切，则 $m =$ ．

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15. 设点M在直线 $2 x + y - 1 = 0$ 上，点 $(3 ， 0)$ 和 $(0 ， 1)$ 均在 $⊙ M$ 上，则 $⊙ M$ 的方程为．

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16. 记双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $y = 2 x$ 与C无公共点”的e的一个值．

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17. 过四点 $(0 ， 0) ， (4 ， 0) ， (- 1 ， 1) ， (4 ， 2)$ 中的三点的一个圆的方程为．

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18. 已知双曲线 $y^{2} + \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m =$ ．

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19. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 都相切的一条直线的方程．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a b > 0) ，$ C的上顶点为A，两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与C交于D，E两点， $| D E ∣ = 6 ，$ 则△ADE的周长是．

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21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ .已知点 $M (0 ， \frac{\sqrt{15}}{2} b)$ ，线段 $M F_{2}$ 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 $| P O | + | P F_{1} | = 2 a$ ，则该椭圆的离心率为.

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22. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ $(a > 0)$ ，双曲线上右支上有任意两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} > 0$ 恒成立，则a的取值范围是

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四、解答题

23. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ ．设A，B是椭圆上异于 $P (0 ， 1)$ 的两点，且点 $Q (0 ， \frac{1}{2})$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A ， P B$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 $| C D |$ 的最小值．

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24. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 在C上，且 $x_{1} > x_{2} > 0 ， y_{1} > 0$ ．过P且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过Q且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 $A B$ 上；② $P Q ∥ A B$ ；③ $| M A | = | M B |$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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25. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设直线 $M D ， N D$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $M N ， A B$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ．当 $α - β$ 取得最大值时，求直线AB的方程．

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26. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $A (0 ， - 2) ， B (\frac{3}{2} ， - 1)$ 两点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点 $P (1 ， - 2)$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\vec{M T} = \vec{T H}$ ．证明：直线HN过定点．

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27. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程：

（Ⅱ）过点 $P (- 2 ， 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B ， C$ ，直线 $A B ， A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M ， N$ ，当 $| M N | = 2$ 时，求 $k$ 的值。

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28. 已知点A(2，1)在双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1 (a > 1)$ 上，直线 $l$ 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.

(1)、求 $l$ 的斜率；

(2)、若 $tan ∠ P A Q = 2 \sqrt{2} ，$ 求 $P A Q$ 的面积.

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29. 如图，已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为2.

(1)、求p的值；

(2)、设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 $| F A | | F B | = 6 S$ 时，求直线l的方程.

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30. 在椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 中，直线 $l ： x = a$ 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.

(1)、若∠AFB $= \frac{π}{6}$ ，求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；

(3)、已知直线BC与椭圆 $Γ$ 相交于点P，直线AD与椭圆 $Γ$ 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 $| C D |$ 的最小值.

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