2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形

试卷更新日期：2022-07-08 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{3} ， c = 2$ ，则该三角形的面积 $S =$ ．

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2. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=.

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4. 在△ABC中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则△ABC的外接圆半径为

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二、解答题

5. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 $4 a = \sqrt{5} c ， \cos C = \frac{3}{5}$ ．

（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅱ）若 $b = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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6. 记 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sin B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求b．

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7. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、若 $A = 2 B$ ，求C；

(2)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

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8. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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9. 在 $△ A B C$ 中， $\sin 2 C = \sqrt{3} \sin C$ ．
（I）求 $∠ C$ ：

（II）若 $b = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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10. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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