2022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数

试卷更新日期：2022-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 为了得到函数 $y = 2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α + β) = - 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α - β) = 1$

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4. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ．“会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A = 2 ， ∠ A O B = 60 °$ 时， $s =$ （）

A、 $\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}$

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5. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{5}{3} ， \frac{19}{6})$ C、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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6. 已知 $a = \frac{31}{32} ， b = \cos \frac{1}{4} ， c = 4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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7. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递增

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9. 记函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为T，若 $\frac{2 π}{3} < T < π ，$ 则 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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10. 已知α∈R，则cos（π-α）=（）

A、sinα B、-sinα C、cosα D、-cosα

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11. 为了得到函数 $y = \cos (x - \frac{1}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

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二、多选题

12. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象以 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 中心对称，则（）

A、 $y =$ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $y =$ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{11 π}{12})$ 有2个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一条对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是一条切线

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三、填空题

13. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

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14. 记函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{π}{9}$ 为 $f (x)$ 的零点，则 $ω$ 的最小值为．

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15. 若函数 $f (x) = A \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A =$ ； $f (\frac{π}{12}) =$ ．

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16. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ， x \in R$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期.

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