湖北省十堰市2021--2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 8 x + 7 < 0}$ ， $B = {x | 1 < x < 4}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知钝角 $α$ 的终边经过点 $(c o s \frac{2 π}{3} ， s i n \frac{π}{6})$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{7 π}{8}$

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3. 已知复数 $z = \frac{a + i}{1 - i} (a \in R)$ ，若 $z - \frac{1}{2}$ 为纯虚数，则 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为（）

A、640π B、250π C、160π D、120π

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5. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 3 a + 3 b + 27$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、9 B、16 C、49 D、81

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6. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = 7^{0.01}$ ， $c = l o g_{9} 5 \times l o g_{5} 3$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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7. 若 $\frac{7 π}{12} < α < \frac{17 π}{12}$ ，且 $c o s (2 α + \frac{π}{6}) = - \frac{7}{8}$ ，则 $c o s (\frac{5 π}{12} - α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知一组数据 $m$ ， $n$ ， $- 2$ ， 1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、多选题

9. 已知 $A (- 1 ， - 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (1 ， 3)$ ， $D (0 ， 4)$ ，则（）

A、 $\vec{B C} = (- 1 ， 0)$ B、 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ C、 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ D、 $\vec{B C}$ 与 $\vec{B D}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（）
备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．
当月增速 $= \frac{当月产量 - 去年同期产量}{去年同期产量} \times 100 %$ ．

A、2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点 B、2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6% C、2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米 D、2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米

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11. 将函数 $f (x) = s i n x - 1$ 图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ ，再将所得的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则（）

A、 $g (x) = 3 s i n (3 x - \frac{π}{12}) - 3$ B、 $g (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $g (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{12} ， - 3)$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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12. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $G$ 为面对角线 $A_{1} D$ 上的一个动点，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、线段 $A_{1} D$ 上存在点 $G$ ，使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G$ C、线段 $A_{1} D$ 上存在点 $G$ ，使平面 $E F G / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、设直线 $F G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $s i n θ$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 5 ， x > 0 \\ 2^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ，函数 $g (x) = f (x) - 2$ 的零点为．

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14. 已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + 10 = 0$ 的两个根，则 $| z_{1} + 2 z_{2} | =$ ．

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15. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 的斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $P B ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P B = \sqrt{5}$ ， $A^{'} D^{'} = D^{'} C^{'}$ ， $A^{'} O^{'} = O^{'} B^{'} = O^{'} D^{'} = 1$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积 $V =$ ．

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16. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中， $P$ 为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形 $A B C D E F$ 为正六边形， $D C = 4 C K = 4 J K = 8$ ， $C K ⊥ J K$ ， $△ H I J$ 为等边三角形，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 盐碱地里面所含的盐分会影响到作物的正常生长，我国约有15亿亩盐碱地，其中约有2亿~3亿亩具备改造为农田的潜力，可以种植海水稻.2020年10月14日，由袁隆平“海水稻”团队和江苏省农业技术推广总站合作试验种植的耐盐水稻在江苏如东栟茶方凌垦区进行测产，袁隆平“超优千号”的盐碱地水稻平均亩产量为802.9公斤，某统计员对100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻的亩产量（单位：公斤）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出的频颜率分布直方图如图所示．

(1)、规定实验田种植的“超优千号”杂交水稻的平均亩产量不低于800公斤为高产，试问这100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻是否高产；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

(2)、若某地有2000亩实验田种植“超优千号”杂交水稻，试估计这2000亩实验田中亩产量低于750公斤的实验田有多少亩．

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{c}{a} = \frac{s i n A + 2 s i n B c o s A}{2 s i n A}$ ．

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} m$ 在 $[- \frac{17 π}{24} ， \frac{π}{3}]$ 上有两个零点，求 $m$ 的取值范围．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别为棱 $A C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ．

(2)、求点B到平面 $C M N$ 的距离．

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21. 疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从 $A$ 处出发，前往 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 4个小区运送生活物资，已知 $A B = 6 k m$ ， $A D = 4 k m$ ， $C D = 2 k m$ ， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $E$ ，且 $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、分别求 $B D$ ， $A C$ 的长度．

(2)、假设 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ ， $A E$ ， $B E$ ， $C E$ ， $D E$ 均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以 $30 k m / h$ 的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．

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22. 如图1，有一个边长为4的正六边形 $A B C D E F$ ，将四边形 $A D E F$ 沿着 $A D$ 翻折到四边形 $A D G H$ 的位置，连接 $B H$ ， $C G$ ，形成的多面体 $A B C D G H$ 如图2所示．

(1)、证明： $A D ⊥ B H$ ．

(2)、若二面角 $H - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ， $M$ 是线段 $C G$ 上的一个动点（ $M$ 与 $C$ ， $G$ 不重合），试问四棱锥 $M - A B C D$ 与四棱锥 $M - A D G H$ 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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