2022年高考数学真题分类汇编专题07：平面向量

试卷更新日期：2022-07-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (1 ， 0) ， \vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}$ ，若 $< \vec{a} ， \vec{c} > = < \vec{b} ， \vec{c} >$ ，则 $t =$ （）

A、-6 B、-5 C、5 D、6

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

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4. 已知向量 $a ， b$ 满足 $| a | = 1 ， | b | = \sqrt{3} ， | a - 2 b | = 3$ ，则 $a \cdot b =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ C = 90 °$ ． $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 5]$ C、 $[- 6 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 6]$

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6. 在 $A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A .$ 记 $\vec{C A} = \vec{m} ， \vec{C D} = \vec{n} ，$ 则 $\vec{C B} =$ （）

A、3 $\vec{m}$ -2 $\vec{n}$ B、-2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$ C、3 $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ D、2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 6 ， | \vec{a} + \vec{b} | = 8$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{10}$ C、8 D、 $4 \sqrt{10}$

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8. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 不共线，且向量 $\vec{a}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{1}{4} .$ 若 $| \vec{a} - λ \vec{e_{1}} + (λ - 1) \vec{e_{2}} | \geq \frac{1}{4}$ 对任意实数λ都成立，则向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 夹角的最大值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题

9. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 $M (p ， 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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10. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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三、填空题

11. 设点P在单位圆的内接正八边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ 的边 $A_{1} A_{2}$ 上，则 ${\vec{P A}}_{1}^{2} + {\vec{P A_{2}}}^{2} + \dots + {\vec{P A}}_{8}^{2}$ 的取值范围是．

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12. 设向量 $a$ ， $b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 已知向量 $a = (m ， 3) ， b = (1 ， m + 1)$ ．若 $a ⊥ b$ ，则 $m =$ ．

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14. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\overset{⇀}{E F} = 2 x \overset{⇀}{A V} + y \overset{⇀}{B C} (x > 0 ， y > 0)$ 则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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15. 在△ABC中， $∠ C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B C = 2$ ，M为AC的中点，P在AB上，则 $\vec{M P} \cdot \vec{C P}$ 的最小值为

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ $(a > 0)$ ，双曲线上右支上有任意两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} > 0$ 恒成立，则a的取值范围是

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