2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式

试卷更新日期：2022-07-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 7 \leq 0 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值是（）

A、20 B、18 C、13 D、6

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2. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 2 ， \\ x + 2 y ⩽ 4 ， \\ y ⩾ 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是（）

A、 $- 2$ B、4 C、8 D、12

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3. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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4. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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5. 设 $a = 0.1 e^{0.1} ， b = \frac{1}{9} ， c = - ln 0.9 ，$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. 若集合 $M = {x ∣ \sqrt{x} < 4} ， N = {x ∣ 3 x ⩾ 1} ，$ 则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$ B、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ 3 \leq x < 16}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 16}$

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7. 不等式 $x^{2} - 4 x < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(- \infty ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， + \infty)$

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ x + y + 2 < 0 \end{array}$ 表示的平面区域是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $\log_{2} (2^{x} - 1) - x < \log_{2} (λ \cdot 2^{x} + 3 λ)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{9} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{1}{5} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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10. 已知 $a > b > c > d$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $a + d > b + c$ B、 $a + c > b + d$ C、 $a d > b c$ D、 $a c > b d$

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二、多选题

11. 对任意x，y， $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ ，则（）

A、 $x + y \leq 1$ B、 $x + y \geq - 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 1$

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三、填空题

12. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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13. 若曲线 $y = (x + a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

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14. 不等式 $\frac{x - 1}{x} < 0$ 的解集为

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四、解答题

15. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

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16. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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17. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 $A B = 30$ m， $A D = 15$ m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

(1)、若∠ADE $= 20^{°}$ ，求EF的长；

(2)、当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

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18. 已知函数 $f (x)$ ，甲变化： $f (x) - f (x - t)$ ；乙变化： $| f (x + t) - f (x) |$ ， $t > 0$ .

(1)、若 $t = 1$ ， $f (x) = 2^{x}$ ， $f (x)$ 经甲变化得到 $g (x)$ ，求方程 $g (x) = 2$ 的解；

(2)、若 $f (x) = x^{2}$ ， $f (x)$ 经乙变化得到 $h (x)$ ，求不等式 $h (x) \leq f (x)$ 的解集；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，将 $f (x)$ 先进行甲变化得到 $u (x)$ ，再将 $u (x)$ 进行乙变化得到 $h_{1} (x)$ ；将 $f (x)$ 先进行乙变化得到 $v (x)$ ，再将 $v (x)$ 进行甲变化得到 $h_{2} (x)$ ，若对任意 $t > 0$ ，总存在 $h_{1} (x) = h_{2} (x)$ 成立，求证： $f (x)$ 在R上单调递增.

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