2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数

试卷更新日期：2022-07-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \cos x + (x + 1) \sin x + 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 的最小值、最大值分别为（）

A、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ B、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$ D、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$

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2. 已知 $a = \frac{31}{32} ， b = \cos \frac{1}{4} ， c = 4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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3. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $π$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3} ，$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A、 $[18 ， \frac{81}{4}]$ B、 $[\frac{27}{4} ， \frac{81}{4}]$ C、 $[\frac{27}{4} ， \frac{64}{3}]$ D、[18，27]

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5. 设 $a = 0.1 e^{0.1} ， b = \frac{1}{9} ， c = - ln 0.9 ，$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

6. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象以 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 中心对称，则（）

A、 $y =$ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $y =$ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{11 π}{12})$ 有2个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一条对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是一条切线

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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8. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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三、填空题

9. 写出曲线 $y = \ln | x |$ 过坐标原点的切线方程：，．

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10. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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11. 若曲线 $y = (x + a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

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12. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \ln x$ ，且 $f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称，设 $f (x) = x + 1$ 的正数解依次为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ 、 $x_{n}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ ，则 $\lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) =$

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四、解答题

13. 设函数 $f (x) = \frac{e}{2 x} + \ln x (x > 0)$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知 $a ， b \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 上不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2})) ， (x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线都经过点 $(a ， b)$ ．证明：

（ⅰ）若 $a > e$ ，则 $0 < b - f (a) < \frac{1}{2} (\frac{a}{e} - 1)$ ；

（ⅱ）若 $0 < a < e ， x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{2}{e} + \frac{e - a}{6 e^{2}} < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}} < \frac{2}{a} - \frac{e - a}{6 e^{2}}$ ．

（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）

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14. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 1$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \ln x + x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围；

(2)、证明：若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x ， g (x) = x^{2} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．

(1)、若 $x_{1} = - 1$ ，求a：

(2)、求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x e^{- x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0) ， (0 ， + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} ln (1 + x)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 和 $g (x) = a x - ln x$ 有相同的最小值.

(1)、求a；

(2)、证明：存在直线 $y = b ，$ ，其与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 1$ ， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{2} = 3$ ，求 $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ ；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，公差为d，对任意 $n \in N^{*}$ ，均满足 $S_{2 n} \geq n$ ，求d的取值范围.

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