初中数学暑假作业（人教版：八年级升九年级）：01二次根式

试卷更新日期：2022-07-07 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列各式成立的是（）

A、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{x^{2}} = x$ C、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = 5$ D、 $\sqrt{a^{2} + 1} = a + 1$

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2. 二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 中字母x的取值可以是（）

A、x＝5 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝-1

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3. 当 $a < 1$ 时，化简 $\sqrt{- a^{3} (1 - a)}$ 的结果是（）

A、 $a \sqrt{(a - 1)}$ B、 $- a \sqrt{a (a - 1)}$ C、 $a \sqrt{a (- a)}$ D、 $- a \sqrt{a (- a)}$

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4. 二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义时，x的取值范围是（）．

A、 $x > \frac{1}{2}$ B、 $x \geq \frac{1}{2}$ C、 $x < \frac{1}{2}$ D、 $x \leq \frac{1}{2}$

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5. 下列根式中，最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 计算并化简 $\sqrt{5} \times \sqrt{\frac{4}{5}}$ 的结果为（）

A、2 B、 $\sqrt{4}$ C、±2 D、 $\pm \sqrt{4}$

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7. 一块长为 $7 d m$ 、宽为 $5 d m$ 的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是 $8 d m^{2}$ 和 $18 d m^{2}$ 的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（）

A、甲同学说的对 B、乙同学说的对 C、甲、乙两名同学说的都对 D、无法判断

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8. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{24} \div \sqrt{8} = \sqrt{3}$

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9. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为（）

A、 $11 c m^{2}$ B、 $4 \sqrt{6} c m^{2}$ C、 $2 \sqrt{6} c m^{2}$ D、 $\sqrt{11} c m^{2}$

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10. 我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边分别记为a，b，c，若 $a = 7$ ， $b = 8$ ， $c = 9$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $12 \sqrt{5}$ B、 $12 \sqrt{6}$ C、24 D、 $\frac{27}{2}$

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 二次根式 $\sqrt{x + 4}$ 中，字母x的取值范围是．

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13. $（ \sqrt{6} + \sqrt{5} ）^{2021} \times （ \sqrt{6} - \sqrt{5} ）^{2022}$ = ．

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14. 像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，请写出 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式.

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15. 若一个二次根式与 $\sqrt{12}$ 的积为有理数，则这个二次根式可以是

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三、解答题

16. 计算： $\frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{27} + (π - 2020)^{0} + \sqrt{24} \div \sqrt{2}$

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17. 若 $x$ ， $y$ 为实数，且 $x = \frac{\sqrt{y^{2} - 1} + \sqrt{1 - y^{2}} + y}{y + 1}$ ，求 $x^{- 3} + y$ 的值.

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18. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 $b = 3 + \sqrt{3 a - 6} + 5 \sqrt{2 - a}$ ，求此三角形的周长.

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19. 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们符合公式为 $d = 8 \sqrt{\frac{h}{5}}$ 。某一登山者从海拔h米处登上海拔2h米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？

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20. 如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．

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21. 有一道练习题是：对于式子 $2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ 先化简，后求值．其中 $a = \sqrt{2}$ ．
小明的解法如下：
$2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ = $2 a - \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ =2a﹣（a﹣2）=a+2= $\sqrt{2}$ +2．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．

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22. 如果最简二次根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么要使式 $\sqrt{4 a - 2 x} + \sqrt{x - a}$ 有意义，x的取值范围是什么？

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23. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ [ ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n}$ ﹣ ${(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}$ ]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

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