河南省林州市2021-2022学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = 1 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z (\bar{z} + i)$ 在复平面内对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列几何体中，棱的条数最多的是（）

A、四棱柱 B、五棱柱 C、五棱锥 D、六棱锥

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3. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // D C$ ， $A B = 2 D C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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4. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则“ $c = a c o s B$ ”是“ $△ A B C$ 为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）

A、20家 B、10家 C、15家 D、25家

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6. 总数为10万张的彩票，中奖率是 $\frac{1}{1000}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、买1张一定不中奖 B、买1000张一定中奖 C、买2000张一定中奖 D、买2000张不一定中奖

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7. 已知在正四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 为棱 $A D$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为 $18 \sqrt{2}$ ，那么原正方形的面积为（）

A、36 B、 $36 \sqrt{2}$ C、72 D、 $72 \sqrt{2}$

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9. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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10. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别为 $A B ， A D$ 上的点，且 $\overset{⇀}{A M} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ ，连接 $A C ， M N$ 交于 $P$ 点，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{11}$ D、 $\frac{4}{13}$

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12. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间 $[300 ， 500)$ 的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知 $z_{1} = m^{2} - 3 m + m^{2} i$ ， $z_{2} = 4 + (5 m + 6) i$ ，其中 $m$ 为实数， $i$ 为虚数单位，若 $z_{1} - z_{2} = 0$ ，则 $m$ 的值为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(2 c - b) c o s A = a c o s B$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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16. 已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm² ，则这个棱柱的侧面积为 cm².

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是同一平面的三个向量，其中 $\vec{a} = (3 ， 3 \sqrt{3})$ ．

(1)、若 $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{c})$ ，求 $| \vec{c} |$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + c = 3$ ， $\frac{c o s C}{c o s B} = \frac{2 a - c}{b}$ .

(1)、求 $b$ 的最小值；

(2)、若 $a < b$ ， $b = 2$ ，求 $c o s (A + \frac{π}{6})$ 的值.

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19. 已知复数 $z = (1 + i) m^{2} + (5 - 2 i) m - 14 (m \in R)$ .

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若z在复平面内对应点在直线 $x + y + 5 = 0$ 上，求m的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $B C / / A D$ ， $∠ P A D = 9 0^{°}$ ， $∠ P B A$ 为锐角，平面 $P B A ⊥$ 平面 $P B D$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $P - B D - C$ 的余弦值.

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21. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过 $n (n \in N^{*})$ 关者奖励 $2^{n - 1}$ 件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．

(1)、求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；

(2)、已知小明在某四次游戏中所过关数为 ${2 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，小聪在某四次游戏中所过关数为 ${3 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．

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22. 已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$ ．设各次射击都相互独立．

(1)、若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率；

(2)、若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率．

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