河北省沧州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z (1 + i) = i^{3}$ ，则z=（）

A、 $- \frac{1 + 2 i}{4}$ B、 $- \frac{1 + i}{2}$ C、 $\frac{1 - i}{4}$ D、 $\frac{2 + i}{2}$

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2. 在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是五个国家公布的某季度国内生产总值（GDP）同比增长率，则这五个国家中该季度GDP同比增长率大于-7.5%的国家个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 已知四棱锥P-ABCD的高为4，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D$ 如图所示，已知 $A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'} = 3$ ， $A^{'} D^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则四棱锥P-ABCD的体积为（）

A、16 B、18 C、20 D、24

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4. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边， $s i n B = s i n C c o s A$ ，则C=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 如图所示，点E为 $△ A B C$ 的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则 $\vec{A F}$ =（）

A、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{5}{4} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{7}{8} \vec{B A} + \frac{1}{8} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{4} \vec{B C}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1) ， \vec{b} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$

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7. 投掷一枚骰子10次，并记录骰子向上的点数.下列选项的统计结果中，可以判断一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为2，方差为1.4 B、中位数为4，众数为3 C、平均数为3，中位数为2 D、中位数为4，方差为3.2

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8. 已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3} ， A C = A D = 4 ， C D = 2$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、15π C、 $\frac{52 π}{3}$ D、 $20 π$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0)$ ，则（）

A、 $\vec{a} - 2 \vec{b} = (2 ， \sqrt{3})$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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10. 已知复数 $z$ 满足 $z i = (1 - 2 i)^{2}$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为3 B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $| z | = 5$ D、 $z^{2} + 8 z + 7 = 0$

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11. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件 $A =$ “第一次为奇数”， $B =$ “第二次为奇数”， $C =$ “两次点数之和为奇数”，则（）

A、 $P (A) = P (B) = P (C)$ B、 $A \cap B$ 与 $C$ 互斥 C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$

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12. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，底面边长为2，则（）

A、该四棱锥的侧面积为 $4 \sqrt{3}$ B、棱 $S A$ 与 $S C$ 垂直 C、平面 $S A B$ 与平面 $S C D$ 垂直 D、二面角 $B - S A - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 数据 $8 ， 6 ， 4 ， 4 ， 3 ， 3 ， 2 ， 2 ， 2 ， 1$ 的85%分位数为.

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14. 已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 6$ ，方差 $s^{2} = 21$ ，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数 $n =$ .

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15. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ，过 $A_{1} B$ 且与 $A C_{1}$ 平行的平面交直线 $C C_{1}$ 于点P，则CP＝．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} ， A C = 2 ， B C = 3$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上（与 $B ， C$ 不重合），延长 $A D$ 到 $P$ ，使得 $A P =$ 8，若 $\vec{P A} = m \vec{P B} + (\frac{4}{3} - m) \vec{P C} (m$ 为常数 $)$ ，则 $C D$ 的长度为.

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四、解答题

17. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，已知 $| z | = \sqrt{10}$ ，且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数.

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且复数 $z_{1} = \frac{m - i}{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A = 4 ， P D = P B$ ，点 $E$ 在线段 $P A$ 上， $P E = 3 E A ， B E ⊥ A D$ ，点 $F ， G$ 分别是线段 $B C ， C D$ 的中点.

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求三棱锥 $P - E F G$ 的体积.

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19. 某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲､乙､丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲､丙都回答错误的概率是 $\frac{1}{8}$ ，乙､丙都回答正确的概率是 $\frac{1}{2}$ .假设他们是否回答正确互不影响.

(1)、分别求乙､丙回答正确的概率；

(2)、求甲､乙､丙3人中不少于2人回答正确的概率.

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20. 某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在 $[15 ， 65]$ 内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示.

(1)、估计这60名作者年龄的平均数；（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）

(2)、估计这60名作者年龄的中位数；（结果保留整数）

(3)、为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在 $[15 ， 35)$ 的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在 $[15 ， 25)$ 的概率.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C = \sqrt{2} ， A A_{1} = 2 A B ， D$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点， $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上靠近 $C_{1}$ 的四等分点.

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成角的正弦值.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，设向量 $\vec{m} = (a ， c) ， \vec{n} = (c o s C ， c o s A)$ 满足 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 b c o s A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，当 $c o s 2 B - 4 c o s A s i n B$ 取最小值时，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、求 $s i n B s i n C$ 的取值范围.

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