广西南宁市普通高中联考2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\frac{10 i}{3 - i} - 3 =$ （）

A、 $- 4 + 3 i$ B、 $| m - n |$ C、i D、-i

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2. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $s i n A = \frac{1}{4}$ ， $a = 3 b$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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3. 已知点 $A (0 ， 3)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ，且 $\vec{B C} = (3 ， - 4)$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、（2，5） B、（2，-5） C、（-2，-5） D、（-2，5）

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4. 在空间中，直线 $m$ ∥面 $α$ ，直线 $n \subset$ 平面 $α$ ，则（）

A、m与n平行 B、m与n平行或相交 C、m与n异面或相交 D、m与n平行或异面

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5. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} O^{'} = B^{'} O^{'} = O^{'} E^{'} = C^{'} E^{'} = D^{'} E^{'} = 1$ ，则四边形ABCD的周长为（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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6. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 6 x + 10 = 0$ 的两个根，则 $| z_{1} + 2 z_{2} | =$ （）

A、9 B、81 C、 $\sqrt{82}$ D、82

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7. 若 $\frac{2 s i n (α + 2022 π) - c o s (α + π)}{c o s (α - \frac{3 π}{2}) - 3 c o s α} = 2$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $- \frac{11}{3}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $- \frac{3}{11}$

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8. 一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{5}$ 如下表：
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
$x_{4}$
$x_{5}$
87
88
90
91
94
由这组数据得到新样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， y_{5}$ ，其中 $y_{i} = \frac{1}{4} x_{i} + a (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 5)$ ， a为常数，则数据 $y_{1} ， y_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， y_{5}$ 的方差为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{16}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (3 - i) (1 + 3 i)$ ，则（）

A、z的实部为6 B、z的虚部为8i C、z的共轭复数为 $- 6 + 8 i$ D、z在复平面内对应的点位于第一象限

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10. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（）
备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．
当月增速 $= \frac{当月产量 - 去年同期产量}{去年同期产量} \times 100 %$ ．

A、2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点 B、2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6% C、2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米 D、2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米

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11. 已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图是面积为 $3 π$ 的扇形，则（）

A、该扇形的弧长为 $π$ B、该扇形的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ C、该圆锥的底面半径为1 D、该圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$

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12. 将函数 $f (x) = s i n x - 1$ 图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ ，再将所得的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则（）

A、 $g (x) = 3 s i n (3 x - \frac{π}{12}) - 3$ B、 $g (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $g (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{12} ， - 3)$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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三、填空题

13. 一支田径队有男运动员45人，女运动员33人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取一个容量为26的样本，则女运动员被抽取的人数为．

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14. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = 5$ ，则正三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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15. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中， $P$ 为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形 $A B C D E F$ 为正六边形， $D C = 4 C K = 4 J K = 8$ ， $C K ⊥ J K$ ， $△ H I J$ 为等边三角形，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为．

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16. 已知 $α$ 为钝角，且 $t a n a = - 2$ ，则 $t a n 2 a =$ ， $s i n (a - \frac{π}{4}) =$ .

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四、解答题

17. 如图，在 $4 \times 4$ 正方形网格中，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 分别表示向量 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ ；

(2)、求 $\vec{c} \cdot \vec{d}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = 2$ ， O为AC与BD的交点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面PAC．

(2)、若M为PD的中点，求三棱锥 $M - O C D$ 的体积．

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19. 盐碱地里面所含的盐分会影响到作物的正常生长，我国约有15亿亩盐碱地，其中约有2亿~3亿亩具备改造为农田的潜力，可以种植海水稻.2020年10月14日，由袁隆平“海水稻”团队和江苏省农业技术推广总站合作试验种植的耐盐水稻在江苏如东栟茶方凌垦区进行测产，袁隆平“超优千号”的盐碱地水稻平均亩产量为802.9公斤，某统计员对100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻的亩产量（单位：公斤）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出的频颜率分布直方图如图所示．

(1)、规定实验田种植的“超优千号”杂交水稻的平均亩产量不低于800公斤为高产，试问这100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻是否高产；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

(2)、若某地有2000亩实验田种植“超优千号”杂交水稻，试估计这2000亩实验田中亩产量低于750公斤的实验田有多少亩．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a c o s B + b c o s A + 2 c c o s C = 0$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $b = 4$ ， $c = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{17 π}{24} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域．

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22. 如图，在正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A C = 2 A A^{'} = 2 ， E ， F$ 分别为 $B C$ ， $A^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、证明： $E F$ $∥$ 平面 $A B B^{'} A^{'}$ .

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $A C C^{'} A^{'}$ 所成角的正切值.

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$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$
87	88	90	91	94