广东省深圳市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 < x < 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${2 ， 3}$

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2. 设复数 $z = i (1 + 2 i)$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $s i n (π + α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知直线 $m$ ， $n$ 与平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则能使 $α ⊥ β$ 成立的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $m / / α$ ， $m / / β$ C、 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ D、 $m ⊥ n$ ， $α ∩ β = m$ ， $n \subset β$

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6. 下列不等式恒成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、 $a b \geq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ C、 $a + b \geq 2 \sqrt{| a b |}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b$

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $A B$ 的中点， $A C$ 与 $D M$ 交于点 $O$ ，则 $\vec{O M} =$ （）

A、 $\vec{O M} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则方程 $f (x) - 3^{| x |} = 0$ 的解的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（）

A、近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势 B、历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高 C、根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人 D、根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人

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10. 把函数 $f (x) = s i n x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图像，下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期为 $π$ B、在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、图像的一个对称中心为 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ D、图像的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{12}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为-1 B、 $f (x)$ 在 $(- 2 ， 0)$ 上单调递减 C、 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2 ， 2]$ D、存在实数 $x$ 满足 $f (x + 2) + f (- x) = 0$

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使 $A$ 到 $A^{'}$ ，点 $A^{'}$ 不落在底面 $B C D$ 内，若 $M$ 为线段 $A^{'} C$ 的中点，则在 $△ A B D$ 翻折过程中，以下命题中正确的是（）

A、四面体 $A^{'} - B C D$ 的体积的最大值为1 B、存在某一位置，使得 $B M ⊥ C D$ C、异面直线 $B M$ ， $A^{'} D$ 所成的角为定值 D、当二面角 $A^{'} - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ 时，四面体 $A^{'} - B C D$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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三、填空题

13. 计算 ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} + l n \sqrt{e} =$ 的结果为.

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14. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是.

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15. 正方形边长为 $1$ ，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， 0 < x < 1 ， \\ 2^{x} ， x \geq 1 . \end{array}$ 若存在 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，使得 $f (x_{2}) = 2 f (x_{1})$ ， $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 a s i n C - 3 c s i n A c o s B = 0$ .

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ， $c = 1$ ，求 $b$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、若 $f (x) = \frac{3}{2}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $x \in [0 ， 3]$ 时，不等式 $f (t - 2 x) + f (x^{2}) \leq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. $B M I$ （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是： $B M I = \frac{体重 (单位： k g)}{身高^{2} (单位： m^{2})}$ .在我国，成人的 $B M I$ 数值参考标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $28 \leq B M I$ 为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的 $B M I$ ，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.
分组
频数
频率
$[14 ， 18)$
15
0.15
$[18 ， 22)$
40
0.40
$[22 ， 26)$
30
0.30
$[26 ， 30)$
10
0.10
$[30 ， 34)$
5
0.05
合计
100
1.00

(1)、根据 $B M I$ 及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；

(2)、已知样本中60名男学生 $B M I$ 的平均数为 $μ_{1} = 22.8$ ，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生 $B M I$ 的平均数 $μ_{2}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形，且 $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $B C / / A D$ ，等边三角形 $P C D$ 所在的平面垂直于底面 $A B C D$ ， $B C ⊥ P D$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求二面角 $P - A B - D$ 的余弦值.

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22. 已知二次函数 $y = f (x)$ 的图象经过原点，且 $y = f (x - 1)$ 是偶函数，方程 $f (x) + 1 = 0$ 有两相等实根.

(1)、求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论函数 $g (x) = \frac{f (e^{x}) + 1}{e^{x}}$ 与 $h (x) = 2 m^{2} e^{x} - m + 2$ 的图象的公共点个数.

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分组	频数	频率
$[14 ， 18)$	15	0.15
$[18 ， 22)$	40	0.40
$[22 ， 26)$	30	0.30
$[26 ， 30)$	10	0.10
$[30 ， 34)$	5	0.05
合计	100	1.00