（人教版）2022年暑假八年级数学复习巩固专题9 正方形

试卷更新日期：2022-07-06 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图， $R t △ A B C$ 中∠ACB是直角，分别以 $△ A B C$ 的三边向外作正方形，G为 $△ C E F$ 边EF的中点，若要求出图中阴影 $△ B D G$ 的面积，只需要知道线段（）

A、AB的长度 B、AC的长度 C、BC的长度 D、BG的长度

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2. 下列说法正确的有几个（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线相等的平行四边形是矩形⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

A、1个 B、2个 C、3个 D、5个

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点M在边 $D C$ 上， $D M = 1$ ，点N是对角线 $A C$ 上一动点，则线段 $D N + M N$ 的最小值为（）

A、5 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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4. 如图，在正方形ABCD中，等边 $△ A E F$ 的顶点E，F分别在边BC和CD上，则 $∠ A E B$ 等于（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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5. 如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为 $16 c m^{2}$ 和 $12 c m^{2}$ 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A、 $(4 - 2 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(8 \sqrt{3} - 4) c m^{2}$ C、 $(8 \sqrt{3} - 12) c m^{2}$ D、 $8 c m^{2}$

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6. 如图，在边长为4正方形 $A B C D$ 的外部作 $R t △ A E F$ ， $A E = A F = 2$ ，连接 $D E ， B F ， B D$ ，则 $D E^{2} + B F^{2} =$ （）

A、10 B、20 C、30 D、40

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7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 $S_{A} = 4 ， S_{B} = S_{C} = 2 ， S_{D} = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{E} = 6$ B、 $S_{F} = 3$ C、 $S_{M} = 3 S_{F}$ D、 $S_{M} = 4 S_{C}$

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8. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，则图中涂色部分的面积为（）

A、 $1 {cm}^{2}$ B、2 ${cm}^{2}$ C、4 ${cm}^{2}$ D、8 ${cm}^{2}$

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9. 如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是（）

A、∠BAD=90° B、AC=BD C、∠BAD=∠ABC D、AD=BD

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10. 顺次连结四边形ABCD各边中点所围成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）

A、互相垂直 B、互相平分 C、相等 D、互相垂直且相等

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二、填空题

11. 如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连结FC，若，那么 $∠ B C F$ 的度数是．

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12. 如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取 $C E = A F$ ，连结EF， $△ E C F$ 周长的最小值为．

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13. 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $B D = 4$ .要使得矩形 $A B C D$ 是正方形，则 $A B$ 的长为.

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14. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S₁、S₂、S₃ ，若S₁＋S₃＝4S₂ ，则 $\frac{B C}{A D}$ ＝．

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15. 在 $▱ A B C D$ 中 $(A B > B C)$ ，点O是对角线 $A C$ 的中点.过点O作直线 $H F ， G E$ ，直线 $H F$ 分别交 $A D ， B C$ 于点H，F，直线 $G E$ 分别交 $D C ， A B$ 于点G，E.连接 $E F ， F G ， G H ， H E$ .有下列四个结论：
①四边形 $E F G H$ 可以是平行四边形；②四边形 $E F G H$ 可以是矩形；③四边形 $E F G H$ 不可以是菱形；④四边形 $E F G H$ 不可以是正方形，其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

16. 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G.求证：AE=CF.

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 是 $B C$ 边上的一点， $∠ A E F = 90^{\circ}$ ，且 $A E = E F$ ，连接 $C F$ ；求 $∠ D C F$ 的度数.

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18. 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE= $\frac{1}{4}$ BC，连接AE，求证：△AFE是直角三角形.

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19. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（提示：取AB的中点H，连接EH．）

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20. 如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，F是CB延长线上一点。若DE=BF，求证：∠EAF=90°。

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21. 在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．如图，当点E与点D重合时，求AG的长．

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22. 如图，E，F分别在正方形ABCD的两边上，BE＝CE＝2，AF＝5，求∠AEF的度数.

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23. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.

(1)、（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.

(2)、（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：
思路一：过点A作 $A G ⊥ A E$ ，交CD的延长线于点G.

思路二：过点A作 $A G ⊥ A E$ ，并截取 $A G = A E$ ，连接DG.

思路三：延长CD至点G，使 $D G = B E$ ，连接AG.

请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.

(3)、（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 $B C = 3 B E$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，设 $B E = a$ ，试用含 $a$ 的代数式表示DF的长.

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