2022年高考数学真题分类汇编专题03：基本初等函数

试卷更新日期：2022-07-06 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $2^{a} = 5 ， \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3 b} =$ （）

A、25 B、5 C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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3. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (2 - x) = 5 ， g (x) - f (x - 4) = 7$ ．若 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 4$ ，则 ${\sum^{}}_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-21 B、-22 C、-23 D、-24

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）

A、 $f (- x) + f (x) = 0$ B、 $f (- x) - f (x) = 0$ C、 $f (- x) + f (x) = 1$ D、 $f (- x) - f (x) = \frac{1}{3}$

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5. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $T$ 和 $1 g P$ 的关系，其中 $T$ 表示温度，单位是 $K$ ； $P$ 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）

A、当 $T = 220$ ， $P = 1026$ 时，二氧化碳处于液态 B、当 $T = 270$ ， $P = 128$ 时，二氧化碳处于气态 C、当 $T = 300$ ， $P = 9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D、当 $T = 360$ ， $P = 729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

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6. 函数 $y = 2^{- x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列幂函数中，定义域为R的是（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ C、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ D、 $y = x^{\frac{1}{2}}$

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8. 若函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y) ， f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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9. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[- 3 ， 3]$ 的大致图像，则该函数是（）

A、 $y = \frac{- x^{3} + 3 x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 x \cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{2 \sin x}{x^{2} + 1}$

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10. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 2 ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；若当 $x \in [a ， b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 1 ， & x < a \\ {(x - 2)}^{2} ， & x ⩾ a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为； $a$ 的最大值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3}$ 的反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (27) =$

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16. 若 $f (x) = \ln | a + \frac{1}{1 - x} | + b$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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17. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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