辽宁省铁岭市2021-2022学年九年级下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2022-07-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $3 x - 2 = 0$ B、 $x^{2} - 3 = 5$ C、 $x + y^{2} = 4$ D、 $\frac{1}{x} + x^{2} = 1$

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2. 抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 的顶点坐标为（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(0 ， - 3)$ C、 $(- 3 ， 0)$ D、 $(- 3 ， - 3)$

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3. 在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $⊙ O$ 的半径为 $4$ ，点A为 $⊙ O$ 上一点， $O A$ 的垂直平分线分别交 $⊙ O$ 于点B，C，则 $B C$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5. “比赛中，郭艾伦罚篮命中”，这一事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、确定事件

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6. 如图，点C在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，三个边长相等的正方形如图摆放，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 的值为（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $90 °$ D、 $105 °$

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8. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$

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9. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S_主＝x²+2x ， S_左＝x²+x ，则S_俯＝（）

A、x²+3x+2 B、x²+2 C、x²+2x+1 D、2x²+3x

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，在正方形 $A B C D$ 的右侧以边 $C D$ 为底边作等腰 $△ C D E$ ，连接 $A E$ ， $A C$ ， $A E$ 交 $C D$ 于点F；则下列说法：
① $S_{△ A D E} = 1$ ，
②当 $△ C D E$ 为直角三角形时， $S_{△ A C E} = 2$
③当 $△ C D E$ 为直角三角形时， $s i n ∠ C A E = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
④当 $△ C D E$ 为等边三角形时， $S_{△ C E F} = 3 - \sqrt{3}$ 中正确的为（）

A、①② B、②③ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 一元二次方程 $2 x^{2} - 6 = 0$ 的解为．

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12. 从长度分别为2cm，3cm，5cm，6cm的四根木棍中随机取三根，能构成三角形的概率是．

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13. 如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CB，CD，BD，若 $∠ B D C = 120 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为是．

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14. 如图，点D是矩形 $A B C O$ 的对称中心，点 $A (6 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ ，经过点D的反比例函数的图象交 $A B$ 于点P，则点P的坐标为．

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15. 二次函数 $y = m x^{2} + 2 m x - (3 - m)$ 的图象如图所示，则m的取值范围是．

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16. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点A逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $E C$ ， $E D$ ，当 $α$ 为 $°$ 时 $E C = E D$ ．

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17. 如图，将边长为4的等边 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 平移得到 $△ D E F$ ，点M，N分别为 $A C$ ， $D F$ 的中点，点P是线段 $M N$ 的中点，连接 $P A$ ， $P C$ ．当 $△ A P C$ 为直角三角形时， $B E =$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 均为等腰三角形， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ，点D为 $A B$ 的中点， $△ D E F$ 绕点D旋转，旋转过程中，线段 $D F$ 与线段 $A C$ 相交于点G，线段 $D E$ 与 $B C$ 的延长线相交于点H，若 $A B = 6 \sqrt{2}$ ， $A G = 2$ ，则 $C H$ 的长为．

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三、解答题

19. 4张相同的卡片上分别写有数字 $- 1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ，从中任意抽取两张卡片，卡片上的数字恰好都是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的解的概率为多少？请用画树状图或列表的方法说明理由．

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20. 某批发商以每件 $50$ 元的价格购进 $800$ 件T恤，第一个月以单价 $80$ 元销售，售出了 $200$ 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 $200$ 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低 $1$ 元，可多售出 $10$ 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T $T$ 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 $40$ 元，设第二个月单价降低x元．

(1)、填表（不需化简）：
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价/元
$80$
$40$
销售量/件
$200$

(2)、如果批发商希望通过销售这批T恤获利 $9000$ 元，那么第二个月的单价应是多少元？

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21. 如图，直线y=-x+1与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交，其中一个交点的横坐标是-2．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、将直线y=-x+1向下平移2个单位，求平移后的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的交点坐标；

(3)、直接写出一个一次函数，使其过点 $(0 ， - 3)$ ，且与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象没有公共点．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $A C$ ， $B C$ 分别相切于点D，E， $A O$ 平分 $∠ B A C$ ，连接 $B O$ ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = B C = 3$ ， $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，求阴影部分的面积．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为边 $A B$ 上的一动点（点E不与点A，B重合），连接 $D E$ ，过点C作 $C F ⊥ D E$ ，垂足为F．

(1)、求证： $△ A D E$ ∽ $△ F C D$ ；

(2)、若 $A D = 6$ ， $t a n ∠ D C F = \frac{1}{3}$ ，求 $A E$ 的长．

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24. 风力发电是指把风的动能转为电能．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到我们国家的重视．某校学生开展综合实践活动，测量风力发电扇叶轴心的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6m，在测点A处安置测倾器，测得扇叶轴心点M的仰角 $∠ M C E = 33 °$ ，再与点A相距3.5m的测点B处安置测倾器，测得点M的仰角 $∠ M D E = 45 °$ （点A，B与N在一条直线上）求扇叶轴心离地面的高度 $M N$ 的长．（精确到1m；参考数据： $s i n 33 ° \approx 0.54$ ， $c o s 33 ° \approx 0.84$ ， $t a n 33 ° \approx 0.65$ ）

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25. 如图，边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中，点E为边 $C D$ 上一动点（不与点C，D重合） $B E$ ，过点A，C分别作 $A F ⊥ B E$ ， $C G ⊥ B E$ ，垂足分别为F，G，点O为正方形 $A B C D$ 的中心，连接 $O F$ ， $O G$ ．

(1)、求证： $B F = C G$ ；

(2)、请判定 $△ O F G$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $△ O F G$ 的面积为 $\frac{1}{5}$ 时，请直接写出 $C E$ 的长．

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，对称轴为直线 $x = \frac{5}{2}$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $B C$ ，若点M是线段 $B C$ 上一动点（不与B，C重合），过点M作 $M N$ $∥ y$ 轴，交抛物线于点N，连接 $O N$ ，当 $M N$ 的长度最大时，判断四边形 $O C M N$ 的形状并说明理由；

(3)、如图 $2$ ，在（2）的条件下，D是 $O C$ 的中点，过点N的直线与抛物线交于点E，且 $∠ D N E = 2 ∠ O D N .$ 在y轴上是否存在点F，使得 $△ B E F$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标，无需说明理由；若不存在，请说明理由．

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时间	第一个月	第二个月	清仓时
单价/元	$80$		$40$
销售量/件	$200$