上海市长宁区2022年中考数学二模试题

试卷更新日期：2022-07-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 下列计算正确的是（　　）

A、（a²）³＝a⁵ B、a²•a³＝a⁶ C、a⁵÷a³＝a² D、（a+2a）²＝4a²

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3. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）

A、正三角形 B、菱形 C、平行四边形 D、等腰梯形

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4. 关于反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ ，下列说法中错误的是（　　）

A、y的值随x的值增大而减小 B、它的图象在第一、三象限 C、它的图象是双曲线 D、若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上

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5. 如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）

A、1 B、2 C、5 D、6

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6. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A、当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B、当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 C、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D、当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形

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二、填空题

7. 计算： $\frac{1}{a} - \frac{1}{2 a}$ ＝．

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8. 在实数范围内因式分解： $x^{2} - 3$ = ．

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9. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且 $\frac{A D}{B D}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，点E是AC的中点， $\vec{B A}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{A C}$ ＝ $\vec{b}$ ，试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{D E}$ ，那么 $\vec{D E}$ ＝．

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \leq 0 \\ 3 x + 6 > 0 \end{array}$ 的解集是．

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11. 函数 $y = \sqrt{x + 3}$ 的定义域是．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果 $\frac{C_{Δ A D C}}{C_{Δ C D B}}$ ＝ $\frac{3}{2}$ ， AD=8，那么CD的长是．

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13. 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么 $\frac{E F}{E C}$ ＝．

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14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是．

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15. 已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为．

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16. 如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm² ．

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17. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于．

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18. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A'、D'，如果直线A'D'与⊙O相切，若AB=2，那么BC的长为

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三、解答题

19. 计算：﹣1²⁰²²+2cot²60°﹣|π﹣3|+ $9^{- \frac{1}{2}}$ ．

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20. 已知二次函数y＝﹣x²+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．

(1)、将函数y＝﹣x²+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）²+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)、点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．

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21. 已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·

(1)、求AO的长；

(2)、过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·

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22. 冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）

(1)、冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

(2)、若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

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23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC ， DE//BC ，点F在边AC上，DF与BE相交于点G ，且∠EDF=∠ABE ．求证：

(1)、△DEF∽△BDE；

(2)、DG·DF=BD·EF

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，

(1)、当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系；

(3)、如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标

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25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，sin∠BAC= $\frac{4}{5}$ ·点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G，

(1)、如图1，设AD=x，用含x的代数式表示DE的长；

(2)、如果点E是 $\overset{⌢}{D G}$ 的中点，求∠AFD的余切值；

(3)、如果△AFD为等腰三角形，直接写出AD的长．

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