山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2^{x}}}}$ ， $B = {y | y = - | x - 3 | - 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0]$

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2. 已知复数 $z = 2 + i$ ，在复平面内 $z (1 - i)$ 对应点的坐标为（）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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3. 已知圆锥的底面周长为 $6 π$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，则该圆锥的高为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、9 C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，且 $a_{5} = 1$ ，则下列选项不正确的是（）

A、 $a_{3} + a_{7} \geq 2$ B、 $a_{4} + a_{6} \geq 2$ C、 $a_{7} - 2 a_{6} + 1 \geq 0$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{9}} = a_{1} + a_{9}$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线上一点， $| P F_{1} | = 7$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1或13 B、1 C、13 D、9

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6. $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} + \frac{1}{\sin 550 °}$ 等于（）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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7. 如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为 $\bar{X_{甲}}$ 、 $\bar{X_{乙}}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $\bar{X_{甲}} < \bar{X_{乙}}$ ，甲比乙稳定 B、 $\bar{X_{甲}} < \bar{X_{乙}}$ ，乙比甲稳定 C、 $\bar{X_{甲}} > \bar{X_{乙}}$ ，甲比乙稳定 D、 $\bar{X_{甲}} > \bar{X_{乙}}$ ，乙比甲稳定

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8. 设函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示.若 $f (α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$

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9. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为（）

A、 $\frac{1}{45}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{2}{45}$

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10. 已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y=m（m $\in$ R），设圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，当0≤m<3 $\sqrt{2}$ 时，则S的可能取值共有

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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11. 已知曲线 $y = \ln x$ 在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，两点处的切线分别与曲线 $y = e^{x}$ 相切于 $C (x_{3}, y_{3})$ ， $D (x_{4}, y_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{3} y_{4}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{17}{4}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $C D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，点P，Q分别为 $A_{1} B_{1} ， B B_{1}$ 的中点，G在侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上运动，且满足 $B_{1}$ G∥平面 $C D_{1} P Q$ ，以下命题错误的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ E F$ B、多面体 $A E F B_{1}$ 的体积为定值 C、侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上存在点G，使得 $B_{1} G ⊥ C D$ D、直线 $B_{1} G$ 与直线BC所成的角可能为 $\frac{π}{6}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) - f (x + 2) = 0$ ，且在 $(- \infty ， 0)$ 内单调递增，请写出一个符合条件的函数 $f (x) =$ .

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14. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $| M F | = 2$ ，若以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0 ， 1)$ ，则 $C$ 的焦点到其准线的距离为.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(2 a - 2 ， 2 a + 3)$ 上存在最小值.则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 定义函数 $f (x) = [x [x]]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1.3] = 1$ ， $[- 1.5] = - 2$ ， $[2] = 2$ ，当 $x \in [0 ， n)$ 时， $f (x)$ 的值域为 $A$ ，记集合 $A$ 中元素的个数为 $a_{n}$ ，则 $\frac{1}{a_{2} - 1} + \frac{1}{a_{3} - 1} + \frac{1}{a_{4} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2022} - 1}$ 的值为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s B + \sqrt{3} s i n B = 2$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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18. 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1

(1)、从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求 $P (X = 1)$ ；

(2)、将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a l n (- x) + 1$ ， $f^{^{'}} (x)$ 是其导函数，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，求a的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) \leq f^{'} (x)$ 对 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ 恒成立，求a的取值范围．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P O = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求证： $B O / /$ 平面 $P A C$ ；并计算 $B O$ 与平面 $P A C$ 之间的距离．

(2)、设平面 $P A O ∩$ 平面 $P B C = l$ ，若点 $M$ 在线段 $P C$ 上运动，当直线 $l$ 与平面 $A B M$ 所成角取最大值时，求二面角 $A - B M - O$ 的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且四边形 $A_{1} F_{1} A_{2} F_{2}$ 是面积为8的正方形.

(1)、求C的标准方程.

(2)、M，N为C上且在y轴右侧的两点， $M F_{1} / / N F_{2}$ ， $M F_{2}$ 与 $N F_{1}$ 的交点为P，试问 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ C$ 的圆心为 $C (- 2 ， 1)$ ，半径长为 $3 \sqrt{3}$ ．

(1)、写出 $⊙ C$ 的一个参数方程；

(2)、过点 $P (4 ， 1)$ 作 $⊙ C$ 的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x - 1 | - | x + 1 |$ ．

(1)、求 $f (x) > x$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x^{2} - x + m$ 在R上解集非空，求m的取值范围．

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成绩等级	优	良	合格	不合格
频数	7	11	41	1