山西省运城市2022届高三下学期理数5月考前适应性测试试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \geq 1} ， B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $∁_{U} B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z_{1} = 2 + i ， z_{2} = \frac{1 + i}{(1 - i)^{2}}$ ，则 ${\bar{z}}_{1} - 2 z_{2} =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 + 2 i$ D、 $- 3 - 2 i$

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3. 2021年，我国各地落实粮食生产责任和耕地保护制度，加大粮食生产扶持力度，支持复垦撂荒地，连续两年实现增长.我国2020年与2021年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、我国2020年的粮食总产量约为13390亿斤 B、我国2021年豆类产量比2020年减产明显，下降了约14.2% C、我国2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米 D、我国2021年的各类粮食产量中，同2020年相比，所占比例下降的只有豆类

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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5. 函数 $f (x) = x s i n x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 2022年北京冬奥会仪式火种台的创意灵感来自中国古老的青铜礼器——何尊，如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为 $28.8 c m$ ，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为 $\frac{5}{7}$ ，体积之比约为 $\frac{25}{21}$ ，则下面选项中与圆柱的底面直径最接近的值为（）

A、 $13 c m$ B、 $14 c m$ C、 $16 c m$ D、 $18 c m$

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7. 已知 $(a + b x)^{6}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为20，则 ${(b x - \frac{a}{x})}^{12}$ 的展开式中的常数项为（）

A、880 B、924 C、792 D、954

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8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $5 \sqrt{2}$ D、8

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9. 已知 $s i n (\frac{π}{2} + α) + \sqrt{2} s i n α = \sqrt{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知 $a < b$ ，函数 $f (x)$ 的定义域为I，若存在 $[a ， b] \subseteq I$ ，使得 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[a ， b]$ ，我们就说 $f (x)$ 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）
① $f (x) = - 2 x + 1$ ；② $f (x) = x^{2}$ ；③ $f (x) = \sqrt{x - 2} + 2$ ；④ $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

A、①② B、②④ C、②③ D、③④

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得 $| P A | = 3 b$ ，则 $e^{2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{36}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{15}}{18}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{6}$ D、 $\frac{17 + 2 \sqrt{30}}{36}$

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12. 已知正数a，b满足 $a^{4} + \frac{4}{b^{4}} \leq 2 (l n 2 a - l n b) + 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 若命题 $p ： \forall x \in [- 1 ， 1] ， x^{3} \geq a - 2 x$ 为假命题，则实数a的取值范围是.

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14. 若非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | ， (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 某公同管理处规划一块三角形地块 $A B C$ 种植花卉，经测量 $A = 60 ° ， A C = 2 A B ， B C = 9 m$ ，则该地块的而积为 $m^{2}$ .

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 4$ ，其余棱长均为 $2 \sqrt{3}$ ，则以 $P A$ 为直径的球的球面被侧面 $P B C$ 所截得曲线的长度为.

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三、解答题

17. 已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 40 ， a_{1} ， a_{2} - 1 ， a_{3}$ 成等比数列，正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1} + 1 ， S_{6} = 2 b_{3} + 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} (2 + 3 l o g_{3} b_{n})}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 为矩形， $A B = 2 A D = 4 ， ∠ D_{1} D B = 60 ° ， B D = A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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19. 随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚，“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连.为了更好的普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组： $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ ，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
分数
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数
8
15
25
30
22

(1)、若测试成绩不低于60分为合格，否则为不合格， $\bar{x}$ 为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，绘计算得 $s \approx 12.1$ ，若 $\bar{x} - 2 s \leq 55$ ，则这次培训中不合格的学生需要参加第二次讲座；否则，不需要参加第二次讲座，试问不合格学生是否参加第二次讲座；

(2)、规定测试成绩不低于80分为优秀，否则为不优秀.
（i）若在样本中利用分层抽样从成绩在 $[70 ， 80) ， [80 ， 90)$ 的学生中抽取11人，再从这11人中随机抽取4人担任讲座助理，设成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ；
（ii）视频率为概率，若从所有参加讲座的大学生中随机抽取3人，设成绩优秀的人数为Y，求Y的数学期望 $E (Y)$ ，并比较 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 大小.

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20. 已知抛物线 $T ： y^{2} = 2 p x (0 < p < 4)$ 的焦点为F，M为T上一动点，N为圆 $E ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 上一动点， $| M N | + | M F |$ 的最小值为 $\sqrt{17} - 1$ .

(1)、求T的方程；

(2)、直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 12$ ，证明： $∠ A D C = ∠ B D C$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a (l n \frac{x}{2} + 1) + b$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = (3 e^{2} - 1) x - 4 e^{2}$ .

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq k x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 t ， \\ y = t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ + s i n θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - 2 | x - 5 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若 $f (x) ⩽ | 2 x + t |$ ，求实数t的取值范围.

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分数	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数	8	15	25	30	22