山西省太原市2022届高三下学期理数模拟试卷三

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $A, B$ 是全集 $I = {1, 2, 3, 4}$ 的子集, $A = {1, 2}$ ,则满足 $A \subseteq B$ 的 $B$ 的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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2. 复数 $\frac{1 - i}{1 - 2 i}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 设非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$

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4. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、-2

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5. 某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）

A、18种 B、36种 C、54种 D、60种

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6. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 的准线交于A，B两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ (O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3} ，$ 则数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ =（）

A、 $2^{n} - 1$ B、 $\sqrt{\frac{4^{n} - 1}{3}}$ C、 $\frac{2^{n} - 1}{3}$ D、 $2^{n - 1} - 1$

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8. 在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（）

A、64 B、65 C、66 D、67

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9. 抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，已知点 $A ， B$ 为抛物线 $E$ 上的两个动点，且满足 $∠ A F B = \frac{2 π}{3}$ ．过弦 $A B$ 的中点 $M$ 作抛物线 $E$ 准线的垂线 $M N$ ，垂足为 $N$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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10. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： $a_{1} = a_{2} = 1 ，$ $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*}) .$ 已知 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ⋯ + a_{m}^{2}}{a_{m}}$ 是该数列的第100项，则m=（）

A、98 B、99 C、100 D、101

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11. 设 $a = l o g_{3} 2$ ，则 $a \in$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{3}{5} ， \frac{5}{8})$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{7}{8})$ D、 $(\frac{5}{8} ， \frac{3}{4})$

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12. 对于任意的实数 $x \in [1 ， e]$ ，总存在三个不同的实数 $y ∈ [- 1 ， 4]$ ，使得 $y^{2} x e^{1 - y} - a x - l n x = 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{16}{e^{3}}]$ B、 $[\frac{16}{e^{3}} ， e^{2} - \frac{3}{e}]$ C、 $[\frac{16}{e^{3}} ， e^{2} - \frac{1}{e})$ D、 $[\frac{16}{e^{3}} ， \frac{3}{e})$

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二、填空题

13. 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为.
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238

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14. 若（ax²+ $\frac{b}{x}$ ）⁶的展开式中x³项的系数为20，则a²+b²的最小值为．

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15. 已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 2$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \vec{A C}$ 且 $\vec{A P} ⊥ \vec{B C}$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n π x}{x^{2} - x + 1}$ ，下面四个结论：① $f (x)$ 的图象是轴对称图形；② $f (x)$ 的图象是中心对称图形；③ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上单调；④ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ ．其中正确的有．

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三、解答题

17. 已知锐角△ABC中， $s i n C = \frac{7 \sqrt{2}}{10} ， s i n (A - B) = \frac{\sqrt{2}}{10} .$

(1)、求 $\frac{t a n A}{t a n B} ；$

(2)、若AB=7，求△ABC的面积S.

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18. 现有5张扑克牌，其中有3张梅花，另外2张是大王、小王，进行某种扑克游戏时，需要先从5张牌中一张一张随机抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌结束.以 $X$ 表示取牌结束时取到的梅花张数，以Y表示取牌结束时剩余的梅花张数.

(1)、求概率 $P (X = 2)$ ；

(2)、写出随机变量Y的分布列，并求数学期望E(Y).

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19. 已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $120 °$ ，此时恰有 $P C ⊥ A D$ .

(1)、求BD的长；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{2} ， 1) ，$ 离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足 $\vec{A M} = - λ \vec{M B} ， \vec{A N} = λ \vec{N B}$ 求线段PN长的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像与直线y=-x+1相切，求实数a的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x - 1$ 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

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22. 在极坐标系中，已知曲线 $C ： ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = 1$ ，过极点 $O$ 作射线与曲线 $C$ 交于点 $Q$ ，在射线 $O Q$ 上取一点 $P$ ，使 $| O P | \cdot | O Q | = \sqrt{2}$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、以极点 $O$ 为直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立直角坐标系 $x O y$ ，若直线 $l ： y = - \sqrt{3} x$ 与（1）中的曲线 $C_{1}$ 相交于点 $E$ （异于点 $O$ ），与曲线 $C_{2} ： {\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）相交于点 $F$ ，求 $| E F |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - m ， m \in R$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $[- 3 ， - 1]$ ．

(1)、求m的值；

(2)、设a，b，c为正数，且 $a + b + c = m$ ，求 $\sqrt{3 a + 1} + \sqrt{3 b + 1} + \sqrt{3 c + 1}$ 的最大值.

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