山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x \in N | x^{2} < 6} ， Q = {x | - 1 \leq x < 3}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 $(- 1 ， 2]$

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2. 设 $2 \bar{z} - \frac{z}{i} = 3$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点为（）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(3 ， - 1)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(2 ， - 1)$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ∥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{3}{8}$ C、1 D、 $\frac{9}{4}$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率 $e$ 是它的一条渐近线斜率的2倍，则 $e =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 若 $s i n α + 2 c o s α = 0$ ，则 $s i n^{2} α - s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、0 C、1 D、 $\frac{8}{5}$

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6. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若 $A B ， C D$ 都是直角圆锥 $S O$ 底面圆的直径，且 $∠ A O D = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 将函数 $f (x) = c o s 2 x + s i n 2 x$ 图象上的点 $P (0 ， t)$ 向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度得到点 $P^{'}$ ，若 $P^{'}$ 恰好在函数 $g (x) = c o s 2 x - s i n 2 x$ 的图像上，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. 若 ${(x - \frac{1}{x} - a)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为35，则正数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (1 - x) > f (x + 3)$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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10. 某车间加工某种机器的零件数 $x$ （单位：个）与加工这些零件所花费的时间 $y$ （单位：min）之间的对应数据如下表所示：
$x /$ 个
10
20
30
40
50
$y / m i n$
62
68
75
81
89
由表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 54.9$ ，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（）

A、 $5.8 m i n$ B、 $6 m i n$ C、 $6.7 m i n$ D、 $8 m i n$

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11. 已知实数 $a ， b$ 满足 $e^{a} + e^{b} = e^{a + b}$ ，给出下列结论：
① $a b < 0$ ；② $a + b > 1$ ；③ $e^{a} + e^{b} \geq 4$ ；④ $b e^{a} > 1$ .
则所有正确结论的序号为（）

A、①③ B、②③ C、①②④ D、②③④

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 2} = (- 1)^{n + 1} (a_{n} - n) + n$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${(- 1)^{n} S_{4 n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{51} =$ （）

A、-5409 B、-5357 C、5409 D、5357

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二、填空题

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y + 4 ⩾ 0 ， \\ x - 3 y - 3 ⩽ 0 ， \\ 2 x + 3 y - 6 ⩽ 0 ， \end{array}$ 则 $z = 5 x + y$ 的最大值为.

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14. 若直线 $x - y - b = 0$ 是曲线 $y = 2 \sqrt{x}$ 的一条切线，则实数 $b =$ .

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），过 $A ， B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M ， N$ ，连接 $M F ， N F$ .若 $| M F | = \sqrt{3} | N F |$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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16. 三棱锥 $S - B C D$ 的平面展开图如图所示，已知 $A D ⊥ B D ， B C ⊥ B D ， A B = C F = 4 ， A D = B C = 2$ ，若三棱锥 $S - B C D$ 的四个顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中；内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b (2 s i n A - \sqrt{3} c o s A) = a s i n B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的最大值.

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18. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $D A ⊥ D B$ ，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 是矩形， $A B = 2 A D = \sqrt{2} A A_{1} ， M$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $D_{1} A ⊥ B M$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、点 $N$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若 $A_{1} C_{1} = 4 A_{1} N$ ，求二面角 $M - D B - N$ 的余弦值.

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19. 足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮了）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

(1)、假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有 $\frac{1}{2}$ 的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数 $X$ 的分布列和期望：

(2)、现有甲､乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，乙队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；
（ii）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x l n x - a}{x} ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $x f (x) + e^{- x} > - a$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $A (2 ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为点B，与直线AB平行的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $M ， N$ ，直线 $A M$ 与 $B N$ 交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 c o s α ， \\ y = 2 + 3 s i n α \end{array} (α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = φ (ρ \in R)$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $| O M | + | O N | = 4 \sqrt{2}$ ，求 $C_{2}$ 的直角坐标方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | - a | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) < 8$ 的解集；

(2)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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$x /$ 个	10	20	30	40	50
$y / m i n$	62	68	75	81	89