内蒙古自治区赤峰市2022届高三理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x > 0}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 ${0 ， 1}$ C、 $[0 ， 2]$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z {(1 + i)}^{2} = | 1 + \sqrt{3} i |$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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3. 设 $p$ 、 $q$ 是两个命题，则“ $\neg p$ 为假”是“ $p \lor q$ 为真”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 2022年2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团夺得9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌，下表是本届冬奥会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数、奖牌总数：
排名
代表团
金牌数
银牌数
铜牌数
奖牌总数
1
挪威
16
8
13
37
2
德国
12
10
5
27
3
中国
9
4
2
15
4
美国
8
10
7
25
5
瑞典
8
5
5
18
6
荷兰
8
5
4
17
7
奥地利
7
7
4
18
8
瑞士
7
2
5
14
9
俄罗斯奥委会
6
12
14
32
10
法国
5
7
2
14
则对这10个代表团来说，下列结论正确的是（）

A、金牌数的众数是16 B、银牌数的中位数是7 C、铜牌数的平均数是9 D、奖牌总数的极差是22

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{8}^{2} - a_{7} = a_{6}^{2} - a_{5}$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $a_{7} = 0$ B、 $S_{13} = 1$ C、 $S_{13} = \frac{13}{2}$ D、 $S_{13} = \frac{13}{2}$ 或 $S_{13} = 13 a_{1}$

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6. 中国古典乐器一般按“八音”分类，最早见于《周礼·春官·大师》.“八音”分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、土、革”为打击乐器，“木、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某音乐学院为大一、大二两个年级各开设5个乐器学习社团，其中“竹”社团与“革”社团学院安排两个年级必须开设，其余3个社团由两个年级各自随机选取，则两个年级所开设社团里同时包含“打击”、“吹奏”、“弹拨”三种类别乐器的概率为（）

A、 $\frac{9}{50}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知点 $A$ 、 $B$ 在单位圆上， $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，若 $\vec{O C} = \vec{O A} + x \vec{O B} (x \in R)$ ，则 $| \vec{O C} |$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ （位于第一象限）、 $B$ 两点，直线 $l$ 与 $x = - \frac{p}{2}$ 交于点 $M$ ，若 $\vec{B M} = t \vec{M A}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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9. 若 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $x_{2} e^{x_{1}} > x_{1} e^{x_{2}}$ B、 $x_{2} e^{x_{1}} < x_{1} e^{x_{2}}$ C、 $x_{2} l n x_{1} < x_{1} l n x_{2}$ D、 $x_{2} l n x_{1} > x_{1} l n x_{2}$

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10. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $M$ 且与双曲线的左支交于点 $P$ ，线段 $F P$ 的中点为 $N$ ，且 $N$ 在线段 $P M$ 上，若 $| O M | = | M N |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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11. 如果一个四面体在同一顶点的三条棱两两垂直，则称为直角四面体.直角四面体 $A - B C D$ 中，侧棱 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ 两两垂直，棱长分别为 $A B = a$ 、 $A C = b$ 、 $A D = c$ ，点 $A$ 在底面 $B C D$ 的射影为点 $O$ ，三条侧棱 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ 与底面所成的角分别为 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ ，以下四个结论：① $O$ 为 $△ B C D$ 的内心；② $△ B C D$ 为锐角三角形；③若 $a > b > c$ ，则 $α < β < γ$ ；④直角四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) π$ .其中所有正确命题的序号是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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12. 函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 的零点到 $y$ 轴的最近距离小于 $\frac{π}{6}$ ，且 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12})$ 单调递增，则以下结论不正确的是（）

A、 $g (\frac{π}{4}) = 0$ B、 $g (x)$ 为非奇非偶函数 C、当 $x \in [0 ， π]$ 时， $g (x)$ 有2条对称轴 D、 $ω \in (\frac{12}{5} ， 3]$

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二、填空题

13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} F$ 与 $D_{1} E$ 所成角的余弦值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且 $2 n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} =$ .

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15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
① $f (x) - f (- x) = 0$ ；
② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ；
③ $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ；

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16. 已知直线 $l$ ： $a x + b y + c = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则直线 $l$ 恒过定点，若 $P (- 1 ， 0)$ ， $N (2 ， 1)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ ，则 $| M N |$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 为非直角三角形， $\frac{s i n A}{s i n B} = c o s (A + B)$ .

(1)、证明： $\frac{t a n C}{t a n B} = - 2$ ；

(2)、求 $c o s A$ 的最小值.

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18. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P D ⊥ F D$ ， $P D = A D = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A P$ 、 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $D F ⊥ E C$ ；

(2)、求二面角 $F - E D - C$ 的余弦值.

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19. 为评估设备 $M$ 生产某种零件的性能，从设备 $M$ 生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
合计
个数
2
1
1
3
5
6
19
31
16
4
4
2
1
2
2
1
100
经计算，样本直径的平均值 $μ = 65$ ，标准差 $σ = 2.2$ ，以频率值作为概率的估计值.

(1)、为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 $X$ ，并根据以下不等式进行评判（ $P$ 表示相应事件的概率），
$P (μ - σ < X \leq μ + σ) \geq 0.6826$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \geq 0.9545$ ；
$P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \geq 0.9973$ .
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备 $M$ 的性能等级.

(2)、将直径小于等于 $μ - 2 σ$ 或直径大于 $μ + 2 σ$ 的零件认为是次品.
（i）从设备 $M$ 的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ ；
（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数 $Z$ 的概率分布列和数学期望 $E (Z)$ .

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，斜率为1的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $A B$ 的中点坐标为 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、椭圆 $E$ 上在第一象限有一点 $P$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 、 $N$ 是椭圆 $E$ 上异于点 $P$ 的不重合的两点，且 $P M ⊥ P N$ ，求证：直线 $M N$ 恒过定点，并求出定点坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (l n x + 1) ， x > 0 \\ x^{2} - \frac{m}{e^{x}} ， x \leq 0 \end{array}$ .

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、设 $F (x) = f (x) - f (- x)$ ，若存在 $x \in (- \infty ， - 1]$ ，使 $F (x) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为 $x$ 轴，建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线 $C_{2}$ 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为 $ρ = 1 - s i n θ (θ \in [0 ， 2 π])$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 交点（异于极点）的极径；

(2)、曲线 $C_{3}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s \frac{π}{3} \\ y = t s i n \frac{π}{3} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.若曲线 $C_{3}$ 和曲线 $C_{2}$ 相交于除极点以外的 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长度.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - l n a | - | x - 2 | (a > 0)$ ．

(1)、若 $f (1) \geq 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f (x^{2}) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的值．

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排名	代表团	金牌数	银牌数	铜牌数	奖牌总数
1	挪威	16	8	13	37
2	德国	12	10	5	27
3	中国	9	4	2	15
4	美国	8	10	7	25
5	瑞典	8	5	5	18
6	荷兰	8	5	4	17
7	奥地利	7	7	4	18
8	瑞士	7	2	5	14
9	俄罗斯奥委会	6	12	14	32
10	法国	5	7	2	14

直径/mm	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	合计
个数	2	1	1	3	5	6	19	31	16	4	4	2	1	2	2	1	100