内蒙古科尔沁左翼中旗2022届高三数学考前押题试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， a}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} - 3 x < 0}$ ，若 $A ∪ B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、1或2 D、0或1或2

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = \frac{1}{i^{2021} + i^{2022}}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} = 2 (a_{1} + a_{2})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、2 B、1 C、-1或1 D、-1或2

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4. 某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：

月份（x）

5

6

7

8

日平均用电量（y）

1.9

3.4

t

7.1

若y与x线性相关，且求得其线性回归方程 $\hat{y} = 1.78 x - 7.07$ ，则表中t的值为（）

A、5.8 B、5.6 C、5.4 D、5.2

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5. 已知 $s i n α - c o s α = t a n \frac{19 π}{6}$ ，则 $s i n^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与AC所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{133}}{14}$

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7. 剪纸艺术是中国传统的民间工艺，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．其特点主要表现在空间观念的二维性．在小学实验课本中，有这样一幅图例(如图所示)，矩形ABCD满足 $B C = 2 \sqrt{3} A B$ ， E为BC的中点，其中曲线为过A、D、E三点的圆弧，若随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{9} - 1$ B、 $1 - \frac{\sqrt{3} π}{9}$ C、 $\sqrt{3} - \frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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8. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，圆锥的体积是 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ ，则该圆锥内切球的半径为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知 $0 < b < a < 1$ ，下列三个命题：① $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $a^{x} > b^{x}$ ， ② $\forall x \in (0 ， 1)$ ， $l o g_{a} x > l o g_{b} x$ ， ③ $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $x^{a} > x^{b}$ ．其中是真命题的有（）

A、①③ B、②③ C、①② D、①②③

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10. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左，右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， P为椭圆C上一点，且 $P F_{2}$ 垂直x轴，若 $| F_{1} F_{2} |$ ， $| P F_{2} |$ ， $| P F_{1} |$ 成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{72} = 1$

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11. 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点 $M (\frac{3 π}{4} ， \frac{3}{2})$ ，其对应的方程为 $| y | = (2 - \frac{1}{2} [\frac{2 x}{π}]) | s i n ω x |$ （ $x \geq 0$ ，其中 $[x]$ 为不超过x的最大整数， $1 < ω < 3$ ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 $\frac{4 π}{3}$ ，则点N的纵坐标为（）

A、 $\pm \frac{1}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = | {log}_{2} x | ， g (x) = {\begin{matrix} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x - 2 | - \frac{1}{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，则方程 $| f (x) - g (x) | = 1$ 实根的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

13. 已知命题“存在 $x \in R$ ，使 $a x^{2} - x + 2 \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 函数的图象 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 4 ， - 4 \leq x < 0 ， \\ 4 c o s ， x ， 0 \leq x \leq \frac{π}{2} \end{array}$ 与 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 120 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 边的中点，当中线 $A D$ 的长度最短时，边 $A B$ 长等于.

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16. 若 $F$ 为双曲线 $M ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点，过原点的直线 $l$ 与双曲线 $M$ 的左、右两支各交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\frac{1}{| F A |} - \frac{9}{| F B |}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{n}}{2^{n - 1}} = 2^{n + 1} - 2$ $(n \in N^{*})$ ， $b_{n} = {log}_{4} a_{n}$
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a (c o s C + 2) = \sqrt{3} c s i n A$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $2 a + b = \sqrt{2} c$ ，求 $s i n A$ ．

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19. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $C D$ 上， $B C = D E = 2 E C$ ，将 $△ D A E$ 沿 $A E$ 进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面 $P A E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，如图2.

(1)、若点F在棱 $P A$ 上，且 $E F ∥$ 平面 $P B C$ ，求 $\frac{P F}{P A}$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ，求点A到平面 $P B C$ 的距离，

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 8$ 与抛物线 $C$ 交于点 $P$ ，且 $| P F | = \frac{5}{2} p$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = x - 4$ 与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线 $T A$ ， $T B$ 与C的另一个交点分别为D，E，且 $D E ∥ A B$ ，求T点的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x + a (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = x$ 相切，求a的值；

(2)、若存在 $x \in (1 ， + \infty)$ ，使得不等式 $f (x) + l n x < a x$ 成立，求a的取值范围.

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22. 在极坐标系中，已知直线 $l ： ρ = \frac{\sqrt{3}}{2 c o s (θ + \frac{π}{6})}$ 和曲线 $C ： ρ^{2} = \frac{2}{2 - c o s^{2} θ}$ ，以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立直角坐标系．

(1)、求 $l$ 与 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，且点 $P (1 ， 0)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - | x - 6 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \leq x^{2} + 2 x + m$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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月份（x）	5	6	7	8
日平均用电量（y）	1.9	3.4	t	7.1