内蒙古赤峰市红山区2022届高三理数3月模拟试卷

试卷更新日期：2022-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1} ， B = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(1 ， + ∞)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(1 ， 2)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $(1 - i) (3 - i) =$ （）

A、 $2 - 4 i$ B、 $- 2 - 4 i$ C、 $- 2 + 4 i$ D、 $2 + 4 i$

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3. 曲线 $f (x) = l n x - x^{2}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - x$ B、 $y = 2 x - 3$ C、 $y = - 3 x + 2$ D、 $y = - 2 x + 1$

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4. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知某个正三棱锥的正视图是如图所示的正三角形，且正三角形的边长为2，则该正三棱锥的体积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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6. 若 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $- \frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 15$ ， $S_{2} = 36$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时正整数n的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. $(x + 1 + \frac{2}{x}) {(1 + x)}^{8}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、148 B、92 C、120 D、36

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9. 已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的偶函数，且 $f (3 - x) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．则 $f (2021) =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、-3

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10. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $\sqrt{3} x c o s α + \sqrt{2} y s i n α = 1 (α \in R)$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 的位置关系为（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相交或相切

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11. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象大致如图所示．将函数 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3}) + f (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 个单位后，所得函数为偶函数，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{12}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于A，B两点． $| A F_{2} | = 2 | B F_{2} |$ ， $∠ F_{1} A F_{2} = 60 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值为．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 4 ， a_{7} - 2 a_{5} = 32$ ，则 $a_{1} =$ ．

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15. 龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过焦点F的直线C交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{2} - x_{1} = \frac{15}{4}$ ，则直线AB的方程为．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $3 a - c = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竞手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，刷脸支付将会替代手机支付，成为新的支付方式．现从某大型超市门口随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

男性
女性
总计
支付
16
20
非刷脸支付
8
总计
40

(1)、请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？

(2)、在抽取的40名顾客的样本中，根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取7名，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.005
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $△ P A D$ 为直角三角形， $P B = P C$ ， $∠ A B P = ∠ D C P$ ， $△ P B C$ 的面积是 $△ P A D$ 的面积的 $\sqrt{5}$ 倍．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、 $E$ 为 $P C$ 上的点，四棱锥 $E - A B C D$ 的体积是四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的一半，求平面 $P A E$ 和平面 $D A E$ 的夹角的余弦值．

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20. 已知M，N是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点和右顶点，且直线 $M N$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且 $\overset{⇀}{A B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + (1 - a) e^{x} - a x - \frac{1}{2} a^{2}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in R$ 时，若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m^{2} \\ y = 2 m \end{array}$ （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2 ρ c o s (θ + \frac{π}{6}) = 1$ ．

(1)、求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (0 ， - 1)$ ，若直线l与曲线C相交于P，Q两点，求 $| M P | \cdot | M Q |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x \in [- 3 ， 1]$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879

	男性	女性	总计
支付		16	20
非刷脸支付	8
总计			40