广西柳州市2023届新高三理数摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 1}$ ， $B = {y | y \geq - 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、[－1，1] C、[－1，＋∞） D、[－1，1）

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2. 设 $m \in R$ ，若复数 $z_{1} = - 2 + i$ 的虚部与复数 $z_{2} = m + m i$ 的虚部相等，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $- 3 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $3 - i$ D、 $- 3 - i$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) =$ （）

A、－1 B、 $3 \sqrt{3} - 4$ C、－2 D、1

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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5. 若 $a = \lg 0.3 ， b = \log_{3} 2 ， c = \log_{5} 4$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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6. 若 $\sin (π - α) = \frac{4}{5}$ ，则 cos2α ＝（）

A、－ $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、－ $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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7. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq - 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、－3 C、－2 D、0

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8. 已知直线 $y = k x (k > 0)$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 相交于A，B两点 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则k＝（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{12}$

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9. 今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

A、44种 B、48种 C、60种 D、50种

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10. 若直线 $x = \frac{π}{4}$ 是曲线 $y = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的一条对称轴，且函数 $y = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ 在区间[0， $\frac{π}{12}$ ]上不单调，则 $ω$ 的最小值为（）

A、9 B、7 C、11 D、3

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11. 函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{16} x^{2} (0 \leq x \leq 2) \\ {(\frac{1}{2})}^{x} (x > 2) \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) + b = 0$ ， $a ， b \in R$ 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）

A、（－ $\frac{5}{2}$ ，－ $\frac{1}{4}$ ） B、（－ $\frac{1}{2}$ ，－ $\frac{1}{8}$ ） C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{8})$ D、（－ $\frac{1}{2}$ ，－ $\frac{1}{4}$ ）

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12. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，从 $F_{2}$ 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 $\cos ∠ B A C = - \frac{3}{5}$ ， $A B ⊥ B D$ ，则E的离 A C心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题（每题5分，满分20分，）

13. 已知直线 $y = x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 3$ 的一条切线，则b＝．

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14. $(1 - \frac{1}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）．

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15. 已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 上的一点，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为．

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，现有下面四个命题：
①点E到直线AB的距离为定值； ②直线DE与直线AC所成角为定值；

③三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的外接球体积为定值； ④三棱锥 $E - A_{1} B D$ 的体积为定值．

其中所有真命题的序号是．

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三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）

17. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $2 a \sin C = \sqrt{3} c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $a = \sqrt{7}$ ，求△ABC的面积．

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18. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明{ $a_{n} + 1$ }是等比数列，并求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + n + 1]$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 $\frac{2}{3}$ ，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.05

0.025

0.010

$k_{0}$

2.706

3.841

5.024

6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣

没兴趣

合计

男

110

女

合计

(2)、先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出5名学生，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X名男生，求X的分布列和期望．

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $P A = P B = P C = A C = 2 \sqrt{2}$ ，O为AC的中点．

(1)、证明：PO⊥平面ABC；

(2)、若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为 $\sqrt{6}$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的平面角的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x} - 2 x$ ．

(1)、讨论当 $a > 0$ 时，f（x）单调性．

(2)、证明： $e^{x} + \frac{a - 2 x^{2} - 2 x}{x} > f (x)$ ．

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22. 已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 $l ： y = - 2$ 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程．

(2)、设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： $∠ A F M = ∠ A F N$ ．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	有兴趣	没兴趣	合计
男			110
女
合计