内蒙古赤峰市2022届高三下学期理数5月模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x (x - 3) - 10 \leq 0} ， B = {x | x - 1 \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 5}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 5}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$

查看试题解析
2. 若复数z满足 $z (1 - i) = - 2 i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

查看试题解析
3. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = 5$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 | x | - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{8} - a_{9} = 6$ ，则它的前13项和为（）

A、110 B、78 C、55 D、45

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (0 < ω < 5)$ 的图像经过点 $(\frac{8 π}{15} ， 3)$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{4 π}{5}$ C、 $\frac{8 π}{5}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 3 x - a e^{x}$ 有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{e})$ B、 $(0 ， \frac{3}{e})$ C、 $(0 ， \frac{e}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{e}{3})$

查看试题解析
8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $A Q$ 与 $B P$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
9. 某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} δ} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ 中的 $μ$ 是正态分布的期望值， $δ$ 是正态分布的标准差，且 $P (| X - μ | \leq δ) \approx 0.6827$ ， $P (| X - μ | \leq 2 δ) \approx 0.9545$ ， $P (| X - μ | \leq 3 δ) \approx 0.9973$ ，则以下结论正确的是（）

A、1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高 B、相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大 C、1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55% D、2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等

查看试题解析
10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，坐标原点为 $O$ ，在双曲线 $C$ 的右支上存在两点 $M$ ， $N$ ，使得四边形 $O M F N$ 是正方形，则（）

A、 $\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{a^{2}}{b^{2}} = 4$ B、 $\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 4$ C、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{2}} = 4$ D、 $\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = 4$

查看试题解析
11. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（）

A、27 B、28 C、29 D、30

查看试题解析
12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，给出以下结论：① $a_{2 n - 1} = 2 n^{2} - 2 n$ ；②182是数列 ${a_{n}}$ 中的项；③ $a_{21} = 210$ ；④当n为偶数时， $S_{n + 2} - 2 S_{n + 1} + S_{n} = n + 2 (n \in N^{*})$ ．其中正确的序号是（）

A、①② B、②③ C、①④ D、③④

查看试题解析

二、填空题

13. 设 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x + 2 y - 5 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为

查看试题解析
14. 在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是.(用数字作答).

查看试题解析
15. 已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．

查看试题解析
16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ，点P在抛物线C上，当 $\frac{| P F |}{| P F_{1} |}$ 的值最小时，点P恰好在以点F， $F_{1}$ 为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为．

查看试题解析

三、解答题

17. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $(b + c) (s i n C - s i n B) = (c - a) s i n A$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 某市为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，得到了如表所示的统计数据．
视力范围
$[4.0 ， 4.2)$
$[4.2 ， 4.4)$
$[4.4 ， 4.6)$
$[4.6 ， 4.8)$
$[4.8 ， 5.0)$
$[5.0 ， 5.2]$
学生人数
10
$a$
35
20
$a$
5

(1)、求 $a$ 的值，并估计这些高三学生视力的平均值．（结果精确到0.1，同一组中的数据用该组区间的中点值代替）

(2)、2022年某空军航空大学招生，对考生视力的要求是不低于5.0．若以该样本数据来估计全市高三年级学生的视力，现从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取4名学生，设这4名学生中有资格报考该空军航空大学的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

查看试题解析
19. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 2 ， B C = 1$ ， E是CD的中点，将 $△ D A E$ 沿AE折起至 $△ P A E$ 的位置，使得平面 $P A E ⊥$ 平面ABCE，如图2．

(1)、证明：平面 $P A E ⊥$ 平面PBE．

(2)、M为CE的中点，求直线BM与平面PAM所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 分别是椭圆 $C$ 的左顶点和上顶点，点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $D F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $A B / / O D$ （ $O$ 为坐标原点）

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率 $e$ ；

(2)、椭圆 $C$ 过点 $E (- 1 ， \frac{\sqrt{14}}{2})$ ，且经过点 $G (- 8 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $M E$ ， $N E$ 分别与直线 $x = - 8$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，证明： $| P G | = | Q G |$ ．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + 1) - \frac{2 x}{x + 2 a} (a > 0)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $g (x_{1}) > - g (x_{2})$ ，求实数a的取值范围．

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{5} c o s θ ， \\ y = 2 + \sqrt{5} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.直线 $l$ 经过点 $P (a ， 0)$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的一个参数方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 2$ ，求实数 $a$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | a x + 2 | + | - a x + 1 |$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < \frac{2}{m}$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析

视力范围	$[4.0 ， 4.2)$	$[4.2 ， 4.4)$	$[4.4 ， 4.6)$	$[4.6 ， 4.8)$	$[4.8 ， 5.0)$	$[5.0 ， 5.2]$
学生人数	10	$a$	35	20	$a$	5