辽宁省县级重点高中协作体2022届高三下学期数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，则（）

A、 $A ∪ B = B$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $C ∪ D = C$ D、 $C ∩ D =$ {正方形}

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2. 若复数 $z_{1} = (1 - i) (- 1 + 7 i)$ ， $z_{2} = \sqrt{3} - i$ ，则 $| z_{1} | - | z_{2} | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、96

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3. 已知向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 不共线，向量 $\vec{O A} = 5 \vec{m} - 3 \vec{n}$ ， $\vec{O B} = x \vec{m} + \vec{n}$ ，若O，A，B三点共线，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 定义矩阵运算 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} a x + b y \\ c x + d y \end{array})$ ，则 $(\begin{array}{l} l g 4 & l g 5 \\ l g 8 & l g 2 \end{array}) (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}) =$ （）

A、 $(\begin{array}{l} l g 50 \\ 5 l g 2 \end{array})$ B、 $(\begin{array}{l} 2 \\ 5 l g 2 \end{array})$ C、 $(\begin{array}{l} l g 50 \\ 4 l g 2 \end{array})$ D、 $(\begin{array}{l} 2 \\ 4 l g 2 \end{array})$

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5. 函数 $f (x) = 4 t a n (π - x) - \frac{1}{c o s^{2} x}$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直， $B A = 1$ ， $B C = B D = 2$ ，则四面体ABCD内切球的半径为（）

A、 $\frac{4 - \sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{5 - \sqrt{6}}{10}$ C、 $\frac{4 - \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{5 - \sqrt{6}}{5}$

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7. 小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则 $E (X) =$ （）

A、176 B、182 C、184 D、186

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线 $A F_{1}$ 与C的左支交于点B，且 $| A B | = | A F_{2} |$ ．设C的离心率为e，则 $e^{2} =$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若 $a > 1$ ， $b < 2$ ，则（）

A、 $a - b > - 1$ B、 $(a - 1) (b - 2) < 0$ C、 $a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值为 $2$ D、 $\frac{1}{2 - b} \geq b$

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10. 下列抛物线中，焦点落在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 6$ 内部的是（）

A、 $y = 6 x^{2}$ B、 $y^{2} = - 2 x$ C、 $y = \frac{1}{6} x^{2}$ D、 $y^{2} = 6 (x - 1)$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{4 π}{3}) = - f (- \frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{12}{7}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的单调函数，且 $f (f (x) - 2^{x} - 2 x) = 10$ .若函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) - 2 x - a ， x \leq 0 ， \\ | l o g_{2} x | - a - 1 ， x > 0 \end{array}$ 有3个零点，则a的取值可能为（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {(2 x + 3)}^{4} + m$ 的图象经过坐标原点，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程是.

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14. 若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为.

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15. 将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有种.

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16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 7$ ， N，G分别在棱 $B B_{1}$ ， AC上，且 $B N = \frac{1}{3} B B_{1}$ ， $A G = \frac{1}{3} A C$ ，平面MNG与AB交于点H，则 $\frac{A H}{B H} =$ ， $\vec{H M} \cdot \vec{A B} =$ .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $c = 4$ .

(1)、若 $s i n B - c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的直径；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从2010年到2018年在线音乐市场规模变化情况如下表所示：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
市场规模（亿元）
0.5
0.9
1.6
2.8
4.7
10.5
18.8
29.9
43.7
将2010年作为第1年，设第i年的市场规模为 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 9)$ 亿元．
参考数据：令 $ω_{i} = i^{3}$ ， $\bar{ω} = 225$ ， $\sum_{i = 1}^{9} i y_{i} = 868.9$ ， $\sum_{i = 1}^{9} ω_{i} y_{i} = 56700$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{9} ω_{i}^{2} - 9 {\bar{ω}}^{2}} = 720$ ，
$\sqrt{\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 43.3$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{9} {(i - 5)}^{2}} = 7.8$ ， $\frac{31185}{5184} \approx 6.016$ ．
附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， …， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

(1)、 $y = a i + b$ 与 $y = c i^{3} + d$ 哪一个更适宜作为市场规模y关于i的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）中的判断及表中的数据，求市场规模y关于i的回归方程．（系数精确到0.0001）

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = A C$ ， $A A_{1} = 2 A B$ ， D是BC的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ∥$ 平面 $A C_{1} D$ .

(2)、求直线AC与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 ${a_{n} + 8}$ 是公比为2的等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{3} = S_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，且点 $M (a ， b)$ 到坐标原点的距离为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求C的方程．

(2)、设直线 $l_{1}$ 与C相切于点P，且 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} ： x = 3$ 相交于点Q．
①若Q的纵坐标为1，直线FQ与C相交于A，B两点，求 $| A B |$ ．
②判断 $∠ P F Q$ 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} g (x) - l n x$ .

(1)、若函数 $g (x) = (\frac{1}{2} x^{2} + a x + a l n x) e^{1 - x}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.
①若函数 $g (x) = (x + 1) e^{1 - x} l n x$ ， $f (m) = f (n)$ ，且 $m \neq n$ ，证明： $m + n < 1$ .②若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{1 - x} (x^{2} - x l n x + \frac{1}{x})$ ，证明： $f (x) > \frac{1 + l n 2}{2}$ .

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年份	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
市场规模（亿元）	0.5	0.9	1.6	2.8	4.7	10.5	18.8	29.9	43.7