辽宁省辽南协作校2022届高三数学第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} = x}$ ， $N = {x | \lg x \leq 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[0, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点是 $(- 1 ， 1)$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z + 1} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 - i$

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3. 下列一组数据1、2、2、3、4、4、5、6、6、7的30%分位数为（）

A、2 B、3 C、4 D、25

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4. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{10} = 9$ ，则 $l o g_{9} a_{1} + l o g_{9} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + l o g_{9} a_{10} =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、 $1 + \frac{l o g_{3} 5}{2}$

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5. 马林•梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 $2^{p} - 1$ 作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 $2^{p} - 1$ （其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{65}{120}$

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6. 一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式： $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 是环境温度， $T_{0}$ 为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（）（ $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、11.3 B、13.2 C、15.6 D、17.1

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7. 函数 $y = f (2 x - 1)$ 是R上的奇函数，函数 $y = f (x)$ 图像与函数 $y = g (x)$ 关于 $y = - x$ 对称，则 $g (x) + g (- x) =$ （）

A、0 B、-1 C、2 D、1

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 位于第一象限，则 $| A F | + 3 | B F |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} + 1$ C、 $2 \sqrt{3} + 2$ D、 $2 \sqrt{3} + 4$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的必要不充分条件 B、命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty) ， l n x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是“ $\forall x \in (0 ， + \infty) ， l n x \neq x - 1$ ” C、若 $M N > 0$ ，则 $l o g_{a} M N = l o g_{a} M + l o g_{a} N$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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10. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $B C = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面 $A_{1} B D / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ B、直线 $C_{1} A ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、直线 $B_{1} C$ 与直线 $B D$ 所成的锐角为 $\frac{π}{3}$ D、四面体 $A B D A_{1}$ 外接球的半径为 $\frac{3}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为 $\frac{π}{2}$ ，图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{12}$ 单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（）

A、函数图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ B、当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 到时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$ C、若 $s i n^{4} α - c o s^{4} α = - \frac{4}{5} (α \in (0 ， \frac{π}{2}))$ ，则 $f (α + \frac{π}{4})$ 的值为 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{5}$ D、函数 $f (x)$ 的减区间为 $[\frac{π}{12} + k π ， \frac{7 π}{12} + k π] ， k \in Z$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 1 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，下列选项正确的是（）

A、点 $(0 ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， \exists x_{2} \in (1 ， 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 $(0 ， + \infty) ∪ {- \frac{1}{2 e}}$

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三、填空题

13. 已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A B} =$ ．

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14. $(1 + 2 x^{2}) (1 + x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，直线 $l ： y = \sqrt{3} x$ 与椭圆C的一个交点为M，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则椭圆的离心率为．

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16. 已知空间四边形 $P - A B C$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P C ⊥ P A$ ， $P A = P B = P C = 3$ ，球心O在平面ABC上，且与直线PA、直线PB、直线PC都相切，则球O的半径为．（直线与球面有唯一公共点称为直线与球相切）

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四、解答题

17. 在① $(2 c - a) s i n C = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \frac{s i n B}{b}$ ， ② $c o s^{2} \frac{A - C}{2} - c o s A c o s C = \frac{3}{4}$ ， ③ $\frac{\sqrt{3} c}{b c o s A} = t a n A + t a n B$ 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边， $b = 2 \sqrt{3}$ ， ____．

(1)、求角B﹔

(2)、求 $2 a - c$ 的范围．

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18. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面ABCD是平行四边形，且 $C B ⊥ D B$ ．侧面PCD是边长为2的等边三角形，且平面 $P C D ⊥$ 平面ABCD．点E在线段PC上，且直线 $P A / /$ 平面BDE．

(1)、求证： $P E = E C$ ；

(2)、设二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $θ$ ，且 $t a n θ = \sqrt{6}$ ．求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{1} = a ， a_{2} = b ， a_{n + 1} = k (a_{n} + a_{n + 2})$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，求k的值；

(2)、若 $a = b = 1$ ，且 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等比数列，求k的值，并求 $S_{n}$ ．

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20. 2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为 $p = 0.003$ ，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．

(1)、若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；

(2)、我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（ $0.99 7^{8} = 0.976 ， 0.99 7^{10} = 0.970$ ，）

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．

(1)、求直线l倾斜角 $θ$ 的取值范围；

(2)、直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求 $△ A B D$ 面积的最小值，并求此时l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{4} (2 - a) x^{2} - \frac{1}{2} a x^{2} l n x (e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot)$

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，证明函数 $f (x)$ 有两个极值点；

(2)、当 $0 < a \leq 1$ 时，函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} b x^{2} - b x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，证明 $b \geq 1 + \frac{1}{e^{3}}$

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