辽宁省大连市2022届高三数学第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知复数z满足z $i$ =2+ $i$ ，则复数z的虚部为（）

A、1 B、-2 $i$ C、2 $i$ D、-2

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3. 若直线 $a x + b y - 1 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 平分圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 的周长，则ab的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{8} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{8}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ D、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$

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4. 某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 $N (120 ， σ^{2})$ ，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为（）

A、700 B、800 C、900 D、950

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5. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点F是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点(不包括顶点)，平面 $B F D_{1}$ 交棱 $C C_{1}$ 于点E，则下列命题中正确的是（）

A、存在点F，使得 $∠ D_{1} F B$ 为直角 B、对于任意点F，都有直线 $A_{1} C_{1}$ ∥平面 $B E D_{1} F$ C、对于任意点F，都有平面 $A_{1} C_{1} D ⊥$ 平面 $B E D_{1} F$ D、当点F由 $A_{1}$ 向A移动过程中，三棱锥 $F - B B_{1} D_{1}$ 的体积逐渐变大

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6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：
色差x
21
23
25
27
29
31
色度y
15
16
19
20
21
23
已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且 $\hat{y} = 0.8 x + \hat{a}$ ，现有一对测量数据为 $(33 ， 25.2)$ ，则该数据的残差为（）

A、0.6 B、0.4 C、-0.4 D、-0.6

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7. 下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{l n 2}{2} > \frac{l n 4}{4}$ B、 $\frac{2 l n 3}{3} > l n 2$ C、 $e l n 10 > 10$ D、 $2^{\sqrt{6}} > 6$

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8. 中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数 $f (x)$ 满足 $f (8 - x) = f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 4]$ 时的解析式为 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 l o g_{2} (2 - \frac{x}{2}) ， 0 \leq x \leq 2 \\ 2 l o g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{2} ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，则函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， 8]$ 的图像与直线y=2所围成封闭图形的面积为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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二、多选题

9. 为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）互不相等，且从小到大分别为 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 B、 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 C、 $x_{10} - x_{1}$ 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 D、 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的中位数为 $x_{5}$

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10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 $a_{n}$ 个球，从上往下n层球的球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} - a_{n - 1} = n + 1 (n \geq 2)$ B、 $S_{7} = 84$ C、 $a_{98} = \frac{98 \times 99}{2}$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2022}} = \frac{4044}{2023}$

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11. 已知在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (1 ， 1)$ ， $D (- 2 ， 0)$ ， $E (2 ， 0)$ ， P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{3}{4}$ ，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且 $M A ∥ N B$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点P的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、△PAB面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、 $| P A | + | P C |$ 的最大值为5 D、 $| M A | \cdot | N B |$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$

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12. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{B C}$ ， $\overset{⌢}{C A}$ ，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（）

A、若P，Q在赤道上，且 $| P Q | = \sqrt{2} R$ ，则三棱锥O-NPQ的体积为 $\frac{1}{6} R^{3}$ B、若P，Q在赤道上，且 $| P Q | = R$ ，则球面△NPQ的面积为 $\frac{1}{3} π R^{2}$ C、若 $| N P | = | P Q | = | Q N | = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ ，则球面△NPQ的面积为 $π R^{2}$ D、若 $| N P | = | P Q | = | Q N | = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ ，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为 $\frac{4 π R^{3}}{9}$

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三、填空题

13. 已知直线 $2 x - 3 y = 0$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线，则C的离心率为.

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14. 将函数 $y = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图像分别向左､向右各平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则 $ω$ 的最小值为.

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15. 已知 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， - 6)$ ，点P在曲线 $y = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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16. 若 $e^{x + 1} - \frac{l n x + 2 k}{x} - k \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数k的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项 $a_{1} = 1$ 的正项等比数列， ${b_{n}}$ 是公差d=2的等差数列，且满足 $b_{3} = 2 a_{2}$ ， $a_{3} = b_{4} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} =$ _______，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .
请在① $c_{n} = 3 a_{n} + (b_{n} - 1)$ ；② $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{3 a_{n}}$ .这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\frac{s i n A - s i n B}{s i n A - s i n C} = \frac{s i n C}{s i n A + s i n B}$ ，且∠ABC的平分线交AC于点M.

(1)、求∠ABC的大小；

(2)、若BM=2，且CM=2MA，求△BMC的面积.

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19. 2022年2月4日至2月20日，北京冬奥会在我国盛大举行.在冬奥会如火如荼地进行过程中，不少外国运动员纷纷化身“干饭人”，在社交媒体上发布沉浸式“吃播”，直呼“好吃到舍不得回家”.其中麻辣烫､豆沙包､宫保鸡丁､饺子……不少传统中国美食也借此机会频频亮相.2月16日美联社称麻辣烫成为欧洲部分运动员眼中最好吃的冬奥会美食.荷兰速滑运动员尤塔·里尔达姆（juttaleerdam）就对麻辣烫赞不绝口，在社交媒体上发布的视频获得20多万点赞.西班牙冰舞选手奥利维亚·斯马特（oliviasmart）和搭档阿德里安·迪亚斯（adriandiaz）也告诉美联社，他们每天都在食堂吃麻辣烫.针对于此，欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣烫.该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方（分别称为A配方和B配方），并按这两种配方制作售卖.由于不熟悉当地居民是否能吃辣，故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣），得到下面第一天的售卖结果：
A配方的售卖频数分布表
麻辣值分组
$[80 ， 84)$
$[84 ， 88)$
$[88 ， 92)$
$[92 ， 96)$
$[96 ， 100]$
频数
10
20
42
18
10
B配方的售卖频数分布表
麻辣值分组
$[80 ， 84)$
$[84 ， 88)$
$[88 ， 92)$
$[92 ， 96)$
$[96 ， 100]$
频数
18
22
38
12
10
定义本餐厅麻辣烫的“麻辣度指数”如下表：
麻辣值
$[80 ， 88)$
$[88 ， 96)$
$[96 ， 100]$
麻辣度指数
3
4
5

(1)、试分别估计第一天A配方，B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.

(2)、用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方麻辣烫的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价A配方的“麻辣度指数”比B配方的“麻辣度指数”高的概率.

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20. 在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=CF=2EF，M，P分别是AC，CF的中点.

(1)、求证：平面BCD⊥平面PBM；

(2)、求二面角E−BD−P的余弦值.

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且 $| O P | = | P F | = \frac{3}{2}$ .

(1)、抛物线E的标准方程；

(2)、如图所示，过点 $M (t ， 0)$ 和点 $N (2 t ， 0) (2 \leq t \leq 6)$ 分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} - k_{1} k_{2} = 0$ .
（i）试求实数k的值；
（ii）若存在实数 $λ$ ，使得 $S_{梯形 A B C D} = λ S_{△ O A B}$ ，试求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + a x$ ， $g (x) = 2 c o s x + \frac{1}{3} x^{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若函数 $h (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： $h (x_{1}) + h (x_{2}) > 8$ .

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麻辣值分组	$[80 ， 84)$	$[84 ， 88)$	$[88 ， 92)$	$[92 ， 96)$	$[96 ， 100]$
频数	10	20	42	18	10

麻辣值	$[80 ， 88)$	$[88 ， 96)$	$[96 ， 100]$
麻辣度指数	3	4	5

色差x	21	23	25	27	29	31
色度y	15	16	19	20	21	23