江西省重点中学协作体2022届高三下学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0} ， Q = {x \in N | 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 在复平面内，复数z满足 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则z的共轭复数为（）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 + i$

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3. 某工厂利用随机数表对生产的300个零件进行抽样测试，先将300个零件进行编号001，002，…，299，300．从中抽取30个样本，根据提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ）
84 42 12   53 31 34   57 86 07   36 25 30   07 32 86   23 45 78   89 07 23   68 96 08 04
32 56 78   08 43 67   89 53 55   77 34 89   94 83 75   22 53 55   78 32 45   77 89 23 45

A、072 B、134 C、007 D、253

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4. 设函数 $f (x) = l n \frac{2}{x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x + 1) - f (1 - x)$ B、 $f (x - 1) + f (x + 1)$ C、 $f (x + 1) + 1$ D、 $f (x - 1) - 1$

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5. 已知 $α ， β$ 是两个不重合的平面，直线 $a \subset$ 平面 $α$ ，命题 $p$ ：平面 $α / /$ 平面 $β$ ，命题 $q$ ：直线 $a / /$ 平面 $β$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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7. 曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的曲率半径公式为 $R = a^{2} b^{2} {(\frac{x_{0}^{2}}{a^{4}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{4}})}^{\frac{3}{2}}$ ．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{36}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 $a c = 8 ， s i n B + 2 s i n C c o s A = 0$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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10. 设 $a = e^{1.3} - 2 \sqrt{7} ， b = 4 \sqrt{1.1} - 4 ， c = 2 l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 在第二象限相交于点M， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为该双曲线的左、右焦点，且 $s i n ∠ M F_{1} F_{2} = 2 s i n ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ D、2

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12. 对任意 $x > 0$ ，若不等式 $a x^{2} \leq e^{x} + a x l n x (a > 0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2 e]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， e]$

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二、填空题

13. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y \leq 2 \\ x - 4 y \leq 2 \end{cases}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值为．

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14. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中，求含 $x^{5}$ 项的系数为．

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15. 已知圆锥的底面直径为4，高为 $2 \sqrt{3}$ ，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可以任意转动，则a的最大值为．

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16. 把 $y = s i n x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |$ 对 $\forall x \in R$ 成立．
① $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ ；
② $f (x)$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为 $\frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{12} ， 0) (k \in Z)$ ；
④若关于x的方程 $2 [f (x)]^{2} + n f (x) + 1 = 0$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ 上有两个不相等的实根，则n的取值范围为 $[- 3 ， - 2 \sqrt{2})$ ．
其中，判断正确的序号是．

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三、解答题

17. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项，为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 $10 n$ ，统计得到以下 $2 \times 2$ 列联表，经过计算可得 $K^{2} = \frac{400}{99}$ ．

男生
女生
合计
了解
$6 n$
不了解
$5 n$
合计
$10 n$
$10 n$
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

(2)、为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，公差 $d > 0$ ，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列．

(1)、求d的值．

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} < λ^{2} - λ - \frac{1}{2}$ 对 $\forall n \in N_{+}$ 恒成立，求 $λ$ 取值范围．

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，将 $△ A B C$ 绕 $A B$ 转动到 $△ P A B$ 位置，使得 $∠ P B C = \frac{π}{3}$ ，连接 $P C$ ， E、F分别是PA、CA的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - A$ 的正弦值．

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (2 ， m) (m > 0)$ 在抛物线C上，且满足 $| M F | = 3$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、过点 $G (0 ， a) (a > 0)$ 的两直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的倾斜角互补，直线 $l_{1}$ 与抛物线C交于A，B两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线C交于P．Q两点， $△ F A B$ 与 $△ F P Q$ 的面积相等，求实数a的取值范围．

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21. 设 $λ$ 为实数，函数 $f (x) = l n x + λ (x - 1)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = (λ + 1) x + m (m \in R)$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $2 x_{1} + x_{2} > e$ （ $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）

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22. 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ^{2} + 4 ρ s i n (θ - \frac{π}{6}) = 12$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （t为参数）

(1)、求圆C的半径以及圆心的直角坐标；

(2)、若点 $P (x ， y)$ 直线l上，且在圆C内部（不含边界），求 $\sqrt{3} x + y$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 6 | + | x - 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \geq 10$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = f (x) - | x + 3 |$ 到的最小值为 $t$ ，若正数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m + n = t$ ，求 $\frac{1}{2 m + 1} + \frac{1}{n + 1}$ 的最小值．

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	男生	女生	合计
了解	$6 n$
不了解		$5 n$
合计	$10 n$	$10 n$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828