江西省萍乡市2022届高三理数第三模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 如图，全集 $U = N$ ， $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x \in N | x > 3}$ ，则阴影部分表示的集合为（）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 4 ， 5}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 在复平面内，复数 $z_{1 ，} z_{2}$ 所对应的点关于虚轴对称，若 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，则复数 $z_{2} =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $2 + i$

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3. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， s i n x < 1$ ；命题 $q ： \exists x \in R ， e^{| x |} \leq 1$ ，则下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \lor (\neg q)$ D、 $\neg (p \lor q)$

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4. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，若 $A A_{1} = A C = B C = 1$ ，则异面直线 $A_{1} C ， A B$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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6. 已知 $2 c o s (π - θ) = s i n (π + θ)$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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7. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 成中心对称，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x^{2} + m x + n$ ，若 $f (- 1) = - 7$ ，则 $3 m + n =$ （）

A、7 B、2 C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 如图是计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ⋯ + \frac{1}{2022}$ 的一个程序框图，其中判断框内可以填入的条件为（）

A、 $i \geq 2022 ?$ B、 $i \geq 2020 ?$ C、 $i \geq 1011 ?$ D、 $i \geq 1010 ?$

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点（ $M$ 在第一象限）.若 $M ， F_{1} ， N ， F_{2}$ 四点共圆，且直线 $N F_{2}$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10. 现收集到变量 $(x ， y)$ 的六组观测数据为： $(1 ， 2) ， (2 ， 2.3) ， (3 ， 3) ， (4 ， 3.5) ， (5 ， 5) ， (6 ， 4.5)$ ，用最小二乘法计算得其回归直线为 $l_{1} ： \hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ；经过残差分析后发现 $(5 ， 5)$ 为离群点（对应残差绝对值过大的点），剔除后，用剩下的五组数据计算得其回归直线为 $l_{2} ： \hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ .则下列结论不正确的是（）

A、 ${\hat{a}}_{2} > {\hat{a}}_{1}$ B、 ${\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{1}$ C、 $r_{2} > r_{1}$ D、去掉离群点后，残差平方和变小

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若存在 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ ，使不等式 $f (x c o s x) \geq f (a - s i n x)$ 成立，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、-4 B、1 C、4 D、6

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12. 设 $a = 2 l n 1.01$ ， $b = \sqrt{1.02} - 1$ ， $c = \frac{1}{101}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，则其离心率为．

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14. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $2 \vec{a} + \vec{b} = (- \sqrt{3} ， 2)$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知 $a ， b ， c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $c = \sqrt{3} ， a = 2 s i n A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B ， P C$ ，在 $△ A D M$ 翻折到 $△ P A M$ 的过程中，下列说法正确的是．（将正确说法的序号都写上）

①点 $P$ 的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得 $A M ⊥ P B$ ；
③棱 $P B$ 的中点为 $E$ ，则 $C E$ 的长为定值；

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三、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1} (n \in N_{+})$ ，且 $a_{1} ， a_{2} + 1 ， a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{n}) \cdot (l o g_{2} a_{n + 2})} (n \in N_{+})$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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18. 北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：
竞赛得分
$[50 ， 60]$
$(60 ， 70]$
$(70 ， 80]$
$(80 ， 90]$
$(90 ， 100]$
频率
0.05
0.25
0.45
0.20
0.05

(1)、如果规定竞赛得分在 $(80 ， 90]$ 为“良好”，在 $(90 ， 100]$ 为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、已知此次知识竞赛全校学生成绩 $ξ$ 近似服从正态分布 $N (73 ， 64)$ ，若学校要对成绩不低于 $97$ 分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．
附：若随机变量 $ξ ∼ N (μ ， δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < ξ < μ + δ) = 0.6827 ， P (μ - 2 δ < ξ < μ + 2 δ) = 0.9545 ， P (μ - 3 δ < ξ < μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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19. 如图，在水平放置的直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ D A B = 90 ° ， A D = D C = \frac{1}{2} A B = 1$ .以 $A B$ 所在直线为轴，将 $A B C D$ 向上旋转角 $θ$ 得到 $A B E F$ ，其中 $θ \in (0 ， π)$ .

(1)、证明：平面 $A D F ⊥$ 平面 $C D F E$ ；

(2)、若平面 $A D F$ 与平面 $B C E$ 的夹角余弦值不超过 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $θ$ 的范围.

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20. 已知抛物线 $T$ 的顶点在坐标原点，焦点与圆 $F ： x^{2} + {(y - a)}^{2} = 1 (a > \frac{1}{4})$ 的圆心重合， $P$ 为 $T$ 上一动点，点 $M (1 ， 1)$ .若 $| P F | + | P M |$ 的最小值为 $2$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的标准方程；

(2)、过焦点的直线 $l$ 与抛物线 $T$ 和圆 $F$ 从左向右依次交于 $A ， B ， C ， D$ 四点，且满足 ${| A B |}^{2} + {| B C |}^{2} + {| C D |}^{2} = 18$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x + a x + 1 - x e^{x}$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $a \in (0 ， 1)$ ，证明： $f (x)$ 有两个零点．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3} t \\ y = t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{9}{1 + 2 s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 为曲线 $C$ 上任意一点，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最小值．

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23. 已知 $f (x) = | x - 2 | + | x + \frac{1}{2} |$ 的最小值为 $m$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若正实数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = m$ ，证明： $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} \geq \frac{5}{2}$ ．

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竞赛得分	$[50 ， 60]$	$(60 ， 70]$	$(70 ， 80]$	$(80 ， 90]$	$(90 ， 100]$
频率	0.05	0.25	0.45	0.20	0.05