2022-2023学年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质同步练习

试卷更新日期：2022-07-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）

A、a＞0 B、当x＞1时，y随x的增大而增大 C、c＜0 D、x=3是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根

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2. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am²＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 二次函数 $y = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ 的图象 $(1 \leq x \leq 3)$ 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（）

A、 $y \geq 1$ B、 $1 \leq y \leq 3$ C、 $\frac{3}{4} \leq y \leq 3$ D、 $0 \leq y \leq 3$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，当 $x > 0$ 时，函数值 $y$ 的取值范围是（）

A、 $y ⩽ \frac{9}{4}$ B、 $y ⩽ 2$ C、 $y < 2$ D、 $y ⩽ 3$

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5. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①4a﹣2b+c＞0；②2a+b＝0；③当y＜0时，﹣1＜x＜3；④若m是实数，且m≠1，则a（m²﹣1）+bm＜b．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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6. 函数y＝﹣x²﹣2x+m的图象上有两点A（1，y₁），B（2，y₂），则（）

A、y₁＜y₂ B、y₁＞y₂ C、y₁＝y₂ D、y₁、y₂的大小不确定

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7. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 4$ ．若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，且 $x_{1} < x_{2} ， 1 < x_{2} < 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} > 0$ B、 $- 10 < x_{1} < - 9$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $a b c > 0$

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8. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P₁（1，y₁），P₂（2，y₂），P₃（3，y₃），P₄（4，y₄）四点．若y₁＜y₂＜y₃ ，则下列说法中正确的是（）

A、若y₄＞y₃ ，则a＞0 B、对称轴不可能是直线x＝2.7 C、y₁＜y₄ D、3a+b＜0

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
-3
m
1
0
-3
…
有以下几个结论：①抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下；②抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = - 2$ ；③关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为-3和-1；④当 $y < 0$ 时，x的取值范围是 $- 3 < x < - 1$ ．其中正确的有（）个．

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知一元二次方程2x²+bx $-$ 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x²+bx $-$ 1的图象上有三个点（0，y₁）、（ $-$ 1，y₂）、（ $\frac{2}{3} ，$ y₃），则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₁＜y₃＜y₂ D、y₃＜y₁＜y₂

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二、填空题

11. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．

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12. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 5$ 在 $m \leq x \leq m + 1$ 时的最小值为6，那么m的值是.

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13. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x²+ax+4的图象上，则m-n的最大值为.

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14. 已知关于x的二次函数y= $x^{2}$ -4x+m，在-1≤ x≤3 的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值为

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15. 已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）²＋1，当1≤x≤4时，函数的最大值为．

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16. 若抛物线y＝x²＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，则抛物线的解析式为.

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17. 二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

x

…

-1

0

1

2

$\sqrt{5}$

…

y＝ax²+bx+c

…

m

-1

-1

n

t

…

当x= $- \frac{1}{2}$ 时，与其对应的函数值 $y > 0$ .有下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax²+bx+c＝t的两个根是 $\sqrt{5}$ 和 $1 - \sqrt{5}$ ；④ $m + n > \frac{11}{3}$ .其中，正确的结论是.

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18. 已知点P（x₀ ， m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝ $\frac{1}{2}$ ； ③该二次函数的最小值是（a+2）²； ④0＜x₀＜1．其中正确的是．（填写序号）

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19. 当 $2 \leq x \leq 4$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x$ 的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是．

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20. 如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a0．（填“＜”或“＞”）

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三、解答题

21. 求抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．

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22. 已知点（0，3）在二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象上，且当 $x = 1$ 时，函数 $y$ 有最小值2，这个二次函数的表达式。

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23. 求抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的顶点坐标，并直接写出 $y$ 随 $x$ 增大而增大时自变量 $x$ 的取值范围．

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24. 把抛物线y＝ax²+bx+c先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y＝x²﹣3x+5，求a+b+c的值．

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四、综合题

25. 某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.

x（元／kg）

9

10

11

y(kg)

2100

2000

1900

(1)、请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？

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26. 如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、当y＜0时，写出x的取值范围；

(3)、当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x²＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．

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27.
如图，曲线y₁抛物线的一部分，且表达式为：y₁= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （x²﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y₂与曲线y₁关于直线x=3对称．

(1)、求A、B、C三点的坐标和曲线y₂的表达式；

(2)、过点D作CD∥x轴交曲线y₁于点D，连接AD，在曲线y₂上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

(3)、设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y₂上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x²＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.

(1)、求二次函数的解析式和直线AD的解析式；

(2)、当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.

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29. 如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 1$ 图象的顶点，图象与 $y$ 轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与 $y$ 轴和 $x$ 轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．

(1)、点A的坐标为，点C的坐标为；

(2)、求直线BD的表达式；

(3)、在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在，请说明理由.

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30. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $(- 2 ， 5)$ ，且与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 在第二象限交于点A，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B (- 4 ， 0)$ .若P是直线 $O A$ 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴于点C，交 $O A$ 于点D，连接 $O P$ ， $P A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $△ A O P$ 的面积S的最大值；

(3)、连接 $P B$ 交 $O A$ 于点E，如图2，线段 $P B$ 与 $A D$ 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.

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x	…	-4	-3	-2	-1	0	…
y	…	-3	m	1	0	-3	…

x	…	-1	0	1	2	$\sqrt{5}$	…
y＝ax²+bx+c	…	m	-1	-1	n	t	…

x（元／kg）	9	10	11
y(kg)	2100	2000	1900

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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